Sottospazio vettoriale

[asder83]

Dire (senza dimostrarlo) quale dei seguenti sottoinsiemi è sottospazio e, per quelli che lo sono, scrivere una base.
In che modo posso svolgere questi esercizi? C'è un metodo generale che vale per questa tipologia?

$a) {(1,0),(0,0),(-1,0)}$ in $R2$
$b) {(a,b,0) : a,b in R}$ in $R3$
$c) L{(1,1,2),(2,1,3),(1,0,1)}$ in $R3$

La lettera $L$ indica $Span$

[asder83]

http://www.****.it/lezioni/algebra-l ... riali.html

questo è il metodo per stabilire se un insieme definito da equazioni è un sottospazio o se un insieme definito per caratteristica è un sottospazio. Ma nell'esercizio da me proposto, non sono presenti nessuno dei due casi. Come si risolvono? Grazie

[donald_zeka]

a) L'insieme è costituito da $3$ vettori in $RR^2$, esso è dunque un sottoinsieme di $RR^2$. Contiene l'elemento neutro; è chiuso rispetto alla somma (si verifica subito), ma non è chiuso rispetto al prodotto per scalare (si verifica subito pure questo), pertanto non è un sottospazio.

b) Si tratta di un sottoinsieme di $RR^3$. Si verifica facilmente che è chiuso rispetto a somma e prodotto per scalare, è pertanto un sottospazio.

c) $L$ è lo spazio lineare generato dai $3$ vettori indicati, ossia lo spazio di tutti i vettori del tipo : $v=av_1+bv_2+cv_3$ con $ (a,b,c) in RR^3$

$L $ contiene l'elemento neutro per $a=b=c=0$, $kv$ appartiene a $L$ dato che $(ka, kb, kc) in RR^3$ e se $v$ e $w=a'v_1+b'v_2+c'v_3$ appartengono a $L$ allora anche $v+w$ appartiene dato che $ (a+a', b+b', c+c') in RR^3$

[donald_zeka]

Per le basi:

Nel b) una possibile base è $(1,0,0),(0,1,0)$

Nel c) si verifica che i tre vettori sono linearmente dipendenti, in particolare il $v_3$ è dipendente da $v_1$ e $v_2$, pertanto $L(v_1,v_2,v_3)=L(v_1,v_2)$ e $(v_1,v_2)$ formano una base di $L$ essendo linearmente indipendenti.