Esercizio su superfici

[fabyc1]

Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo esercizio: data A:= $ {(x,y,z)in R^3 | x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=1} $ dimostrare se A è una superficie regolare.
Allora so come si fa a dimostrare che è una superficie regolare, il punto dove mi blocco è quello di trasformare la superficie in un'equazione che dipende dai parametri u e v. Avevo provato ridurla in forma canonica ottenendo questo risultato $ 3(x-y)^2+4T^2-4=0 $ dove $ T^2=z^2+(x+y)^2/4-z(x+y) $ solo che non so come inserire bene la dipendenza dai parametri u e v. Potreste aiutarmi? Grazie mille in anticipo a chi mi risponderà.

[Pappappero1]

In alternativa puoi calcolare il gradiente del polinomio che definisce la superficie e verificare se esistono punti della superficie in cui il gradiente e' nullo.

Se il gradiente non e' mai nullo sulla superficie, allora la superficie e' regolare.

[fabyc1]

"TeM":Morale: in casi come questo la prima strada è indubbiamente quella più conveniente.

Grazie mille per avermi risposto,purtroppo però la strada che devo percorrere è la seconda perchè l'esercizio continua e devo trovare la curvatura gaussiana e media della superficie. Ti posso chiedere come hai fatto ad arrivare a questa parametrizzazione
\[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(u,\,v) = \left( \sqrt{\frac{2}{3}}\,\cos(u) + v, \; \sqrt{\frac{2}{3}}\,\sin(u) + v, \; \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6}}\right)\left(\cos(u) + \sin(u)\right) + v \right)\,,\] per \((u,\,v) \in [0,\;2\,\pi) \times \mathbb{R}\).

[fabyc1]

Grazie mille, sei stato gentilissimo