Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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C. Dati i polinomi in R3[t]:
p1 = t^3 + 1; p2 = t^3 - t; p3 = 2t^3 - 3t - 1; p4 = 3t^2 + t + 2
(i) Scrivi i vettori di R4 corrispondenti ai quattro polinomi rispetto all'isomor smo coordinate rispetto
a una base scelta;
(ii) stabilisci se [p1; p2; p3; p4] è una base di R3[t];
(iii) trova dimensione e base di U = Span(p1; p2; p3; p4);
(iv) scrivi una base ortonormale di U;
(v) scrivi la matrice della proiezione ortogonale PU.
La matrice associata che ho trovato è
1 0 0 1
1 0 -1 0
2 0 -3 -1
0 ...
Ciao, devo risolvere questo esercizio.
Determinare per quali valori di t, il sistema Ax=b ha soluzione e determinare esplicitamente la soluzione.
$ A ( ( -1 , 3 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 2t+1 ) ) $
$ b= ( ( 2 ), ( 1 ), ( 5 ) ) $
Il teorema di Rouchè-Capelli dice che per avere una soluzione $ rg(A)=rg(A|b) $
Riducendo a scala viene A|b $ A ( ( -1 , 3 , 0,|2 ),( 0 , 5 , -1,|3 ),( 0 , 0 , 2t+1, |5 ) ) $
Quindi se t ≠ -1/2 rg(A)=rg(A|b)=3 per cui per t ≠ -1/2 posso trovare le soluzioni
Se t=-1/2 rg(A)=2 e rg(A|b)=3 il sistema non ha soluzioni
Però volevo capire perché con Kronecker ...
Salve,
Nel tentativo di trovare gli autovalori della matrice A avente per righe i seguenti vettori (1,-1,-1),(-1,2,0),(-1,0,0), calcolo il determinante della (A-xI), per ottenere il polinomio caratteristico, ma non riesco a giungere a tutti i distinti autovalori. Quindi (se non ho sbagliato):
Il poli. caratt. risulta -(x^3)+(3x^2)-2=0 che mediante Ruffini diventa (x-1)(-x^2+2x+2)
E da qui in poi non so come ricavare gli autovalori (tranne l'autoval x=1); cosa devo fare?
Considera al variare del parametro k la matrice: Ak =
0 k 0 k
1 (k - 1) 0 0
0 0 5 5
0 0 1 1
(i) Trova gli autovalori di Ak e stabilisci per quali valori di k la matrice Ak e' diagonalizzabile;
(ii) per i valori di k per cui Ak e' diagonalizzabile, scrivi una base di autovettori e la matrice diagonale
a cui e' simile;
(iii) trova, se ne esistono, i valori di k per cui esiste una base ortonormale di autovettori.
il determinante che ho trovato è ...
Dato il sistema
x + y - z - 3w = 0
2x - y - 2z = 0
(i) studiane la compatibilita' e trovane le soluzioni.
(ii) Stabilisci se il suo spazio delle soluzioni W e' un sottospazio vettoriale di R4; in tal caso trovane la
dimensione e una base.
La soluzione del sistema mi viene y=2w e x=w+z;
ora come devo procedere per il secondo punto?
Data l'applicazione lineare T : R4 -> R1[t] de nita da: T
(x, y, z, w)= (x + y)t + (z + w)
il sottospazio W = Span
[(-3, 3, 2, -2) (1, 0, -1, 0) (0, -3, 1, 2)]
(i) Trova la dimensione e una base di W.
(ii) Trova la dimensione e una base di U = ker(T);
(iii) stabilisci se T e' iniettiva, suriettiva e/o biunivoca.
(iv) Trova la dimensione e una base dei sottospazi W intersezione U e W + U.
Dai miei calcoli ho ricavato che ker(T)=(1, -1, 0, 0)x + (0, 0, 1, -1)z, che T è suriettiva e che dei ...
Ciao a tutti,
come verifico se un sottoinsieme è un sottospazio?
So che un sottoinsieme è un sottospazio se è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto per uno scalare ma non so come applicare queste "condizioni" ad esercizi simili:
in R3:
W1: {(x,y,z) | x = 3y}
W2: {(x,y,z) | x+2y = x-3y = x-z = 0 }
W3: {(x,y,0) | x
Ciao a tutti,
dato un piano in equazioni cartesiane, come posso determinare due rette incidenti ?
come risolvo esercizi del tipo:
Determinare un sistema di equazioni lineari in 4 incognite su R che abbia tra le sue soluzioni i
vettori (1, 2, −1, 1) e (2, 2, 0, 1).
?
Non mi viene nulla in mente... sicuramente ci si deve arrivare tramite ragionamento, qualcuno mi aiuta?
grazie in anticipo
Ho questa matrice $ A( ( 1 , 2 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 1 , -2 , 1 ) ) $
Devo trovare gli autovalori, che sono λ=0 con molt. algebrica=1
e λ=2 con molteplicità algebrica = 2
Ma non ho capito bene come trovare gli autovettori.
Calcolo $ (A-λI)X=0 $
Per λ=2 dovrebbe venire (2,1,0) e (1,0,1)
Io faccio il sistema e mi viene 0=0, 0=0, x=2y+z,
Per cui ho due variabili libere, e sostituendo i valori del libro viene.
Mentre per λ=0 il libro scrive questa soluzione: (-1,0,1)
Però facendo il sistema trovo 0=0, y=0, z=0, quindi x ...
Ciao a tutti,
qualcuno riesce a fornirmi una dimostrazione del fatto che gli aperti $U$ di uno spazio topologico che siano $(n+1)-$connessi (ovvero il cui complementare ha $n$ componenti connesse limitate e una illimitata) hanno il primo gruppo di coomologia $H^{1}(U)$ isomorfo a $\mathbb{R}^{n}$?
Grazie mille!
Salve a tutti!
avendo una matrice del genere (già ridotta):
$ ((-1,1,0) , (0,-2,-1), (0,0,0))$
come scelgo quale variabile porre come val libera?
di solito prendo quella dove non c'è il pivot (in questo caso z)...ma è giusto?
Salve ragazzi,
volevo chiedervi delucidazioni visto che sul mio libro non si parla né di rette incidenti né della condizione di appartenenza della retta in un piano; di come risolvere questa tipologia di problemi visto che purtroppo me lo sono trovato in sede di esame.
Il problema mi dava come dato solo l'equazione di un piano (che dalla rabbia non mi sono segnato scusate) e io avrei operato così se avesso saputo come trovare una retta dato il piano:
1) trovare la retta
2) cercare l'equazione ...
B. Dato il sistema
x + y - z - 3w = 0
2x - y - 2z = 0
(i) studiane la compatibilita' e trovane le soluzioni.
(ii) Stabilisci se il suo spazio delle soluzioni W e' un sottospazio vettoriale di R4 in tal caso trovane la
dimensione e una base.
(iii) Scrivi una base ortonormale di W.
(iv) Scrivi una base e una base ortonormale di W trasposta?.
(v) Scrivi la matrice associata a Pw : R4 -> R4, proiezione ortogonale sul sottospazio W, rispetto a una
base a tua scelta.
dopo aver trovato che la ...
Ciao,
ho un po' di confusione sull'argomento coomologia e omologia in generale.
Avrei bisogno di una conferma o di una smentita riguardo agli isomorfismi per i gruppi di coomologia.
Guardando esercizi risolti, è vero che se calcolo il primo gruppo di coomologia si ha la seguente relazione :
$H^1 (R^2 \backslash {P_1})\cong R$
mentre
$H^1 (R^2 \backslash {P_1...P_n}) \cong R^n$ con $P_i$ punti del piano
mentre $H^0$ invece come lo calcolo? tramite la mappa di cobordo o in altro modo?
Ciao,
non riesco a capire come calcolare le componenti connesse di un Disco chiuso e di un cerchio.
Considerando il complementare, il disco è 1+1-connesso, mentre il complementare del cerchio credo sia 2+1-connesso. L'unione invece dovrebbe essere (disco + cerchio+ 1) - connesso
E' giusto o sbaglio qualcosa?
Considera al variare del parametro k la matrice: Ak =
1 1 1
k k k
3 3 3
(i) Stabilisci per quali valori di k la matrice Ak e' diagonalizzabile;
(ii) per i valori di k per cui Ak e' diagonalizzabile, scrivi una base di autovettori e la matrice diagonale
a cui e' simile;
(iii) trova, se ne esistono, i valori di k per cui esiste una base ortonormale di autovettori.
Dopo aver verificato che la matrice è diagonalizzabile per k diverso da -4, come devo procedere per gli altri due punti?
Salve , vorrei capire un passaggio riguardante un esercizio di algebra lineare , insieme a voi ;
Dato $V= {(x, y, z) ∈ R 3 | x + y − z = 0} $ , determinare $f(V)$ al variare di $h ∈ R$, specificandone in
ciascun caso la dimensione.
abbiamo:
$( ( 2-h , 3-h , 2h-2 ),( 0 , -1 ,0 ),( 1-h , 1-h , 2h-1 ) ) * ((1),(1),(1)) = ((3),(-1),(1)) $
$( ( 2-h , 3-h , 2h-2 ),( 0 , -1 ,0 ),( 1-h , 1-h , 2h-1 ) ) * ((1),(0),(1)) =((h),(0),(h)) $
$( ( 2-h , 3-h , 2h-2 ),( 0 , -1 ,0 ),( 1-h , 1-h , 2h-1 ) ) * ((0),(-1),(-1)) =((-h-1),(1),(h)) $
così
$ (x, y, z) = a(1, 1, 1) + b(1, 0, 1) + c(0, −1, −1) \Rightarrow {(a + b = x),(a − c = y),(a + b − c = z):} \Rightarrow {(a = x + y − z),(b = −y + z),(c = x − z):} $
Otteniamo
otteniamo $ [(x, y, z)]A = (x + y − z, −y + z, x − z) $
Fino a qua tutto abbastanza chiaro ;
L'esercizio conclude poi con
$[ f (1, 1, 1)]A = [(3, −1, 1)]A = (1, 2, 2) $
$[ f (1, 0, 1)]A = [(h, 0, h)]A = (0, h, 0)$
$[ f (0, −1, −1)]A = [(−h − 1, 1, −h)]A = (0, −h − 1, −1).$
Non ho ...
Data un'applicazione lineare T : M2;3(R) -> R6, è vero che se T e iniettiva, allora e anche suriettiva?
E' giusto dire che se rgT=6, allora T è sia iniettiva che suriettiva?
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