Basi di V

[cortex96]

Se B = (v1; v2; v3; v4) è una base di V , e vero che C = (v1+v2+v3; v2+v3+v4; v1+v3+v4; v1+v2+v4)
è una base di V?
Come posso dimostrare questa affermazione?

[Kashaman]

Qual e la definizione di base di uno spazio vettoriale?

[cortex96]

Che gli elementi di C siano generatori e che siano tutti linearmente indipendenti, giusto?
Quindi mi basta provare che sono tutti linearmente indipendenti visto che so già che sono generatori?

[Kashaman]

Esattamente. Devi provare entrambe le cose.
Per provare che generano V ti basta provare che i vettori $v_1,v_2,v_3,v_4$ sono combinazione lineare dei vettori di $C$.
Perché se denotiamo con $$ lo spazio generato dai vettori di $C$, sappiamo di certo che $ \subseteq V$ ma se $v_i \in $ per $i=1,2,3,4$ allora $$ contiene ogni combinazione lineare di questi e vettori, e poiché costituiscono una base di $V$, se ne deduce che $V \subseteq $ . Da cui quel che volevi.
Per la lineare indipendenza fai due conti, sfrutta la lineare indipendenza dei $v_i$