Sistemi e sottospazi vettoriali
Dato il sistema
x + y - z - 3w = 0
2x - y - 2z = 0
(i) studiane la compatibilita' e trovane le soluzioni.
(ii) Stabilisci se il suo spazio delle soluzioni W e' un sottospazio vettoriale di R4; in tal caso trovane la
dimensione e una base.
La soluzione del sistema mi viene y=2w e x=w+z;
ora come devo procedere per il secondo punto?
x + y - z - 3w = 0
2x - y - 2z = 0
(i) studiane la compatibilita' e trovane le soluzioni.
(ii) Stabilisci se il suo spazio delle soluzioni W e' un sottospazio vettoriale di R4; in tal caso trovane la
dimensione e una base.
La soluzione del sistema mi viene y=2w e x=w+z;
ora come devo procedere per il secondo punto?
Risposte
Il sistema è omogeneo, quindi quello delle soluzioni è sicuramente uno spazio vettoriale.
Rappresenta l'insieme delle soluzioni..
$S={ (x,y,z,w) \in RR^4 | y=2w,x=w+z} \subset RR^4$
Come procedi? Riesci ad individuarne una base?
Rappresenta l'insieme delle soluzioni..
$S={ (x,y,z,w) \in RR^4 | y=2w,x=w+z} \subset RR^4$
Come procedi? Riesci ad individuarne una base?
Una base potrebbe essere [(1 2 1 0)w, (1 0 0 1)z] ?
Se $y=2w , x=w+z$
Osserva che
$(x,y,z,w) \in RR^4 = (w+z,2w,z,w) =w*(1,2,0,1)+z*(1,0,1,0)$
$v_1=(1,2,0,1), v_2=(1,0,1,0) $ generano il tuo spazio e sono lin indipendenti, quindi ne costituiscono una base.
Osserva che
$(x,y,z,w) \in RR^4 = (w+z,2w,z,w) =w*(1,2,0,1)+z*(1,0,1,0)$
$v_1=(1,2,0,1), v_2=(1,0,1,0) $ generano il tuo spazio e sono lin indipendenti, quindi ne costituiscono una base.
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