Coomologia

[pippo14]

Ciao,

ho un po' di confusione sull'argomento coomologia e omologia in generale.
Avrei bisogno di una conferma o di una smentita riguardo agli isomorfismi per i gruppi di coomologia.
Guardando esercizi risolti, è vero che se calcolo il primo gruppo di coomologia si ha la seguente relazione :

$H^1 (R^2 \backslash {P_1})\cong R$

mentre


$H^1 (R^2 \backslash {P_1...P_n}) \cong R^n$ con $P_i$ punti del piano

mentre $H^0$ invece come lo calcolo? tramite la mappa di cobordo o in altro modo?

[Lorenzo Morandi]

Per come è definito, se $U$ è un aperto, $H^{0}(U)$ è lo spazio (che è anche un gurppo) delle funzioni localmente costanti su $U$, e quindi è isomorfo a $\mathbb{R}^{n}$, dove $n$ è il numero di componenti connesse di $U$.

[pippo14]

ok grazie!
Per $H^1$ invece il ragionamento è corretto?

Invece per i gruppi di omologia $H_1$ posso verificarlo tramite la (m+1) - connessione, mentre per $H_0$ oltre a Mayer - Vietoris posso utilizzare il teorema di Jordan giusto?

[Lorenzo Morandi]

Sì, per $H^{1}$ i conti son quelli (poi la questione è che bisogna saperlo dimostrare). Per $H_{1}$ la $(m+1)-$connessione è molto utile, mentre $H_{0}$ potrebbe essere ancora un analogo del "contare" le componenti connesse, ovvero $H_{0}(U)$ è isomorfo a $\mathbb{Z}^n$ dal momento che posso esibire la base $\{[p_{1}],\ldots,[p_{n}]\}$ dove ciascun $p_{i}$ sta in una componente connessa diversa. Poi Mayer-Vietoris si può sempre usare a seconda delle situazioni, se magari non si conosce esplicitamente come è fatto l'insieme che se si sta studiando ma si conoscono solo alcune sue proprietà.

[killing_buddha]

E' sufficiente saper calcolare gli $H^0, H^1$ di un bouquet di cerchi, dal momento che il piano meno $n$ punti retrae al bouquet di $n$ circonferenze, e che una retrazione induce isomorfismi tra tutti i gruppi di co/omologia.
Se ora \(X = \mathbb{S}^1\vee\mathbb{S}^1\vee\dots\vee\mathbb{S}^1\) e' un tale bouquet, puoi usare Mayer-Vietoris e l'induzione su $n$ per ottenere che \(H^0(X) \cong \mathbb{Z}\), e \(H^1(X)\cong \mathbb{Z}^n\). Nota che questo determina completamente lo spazio $X$ a meno di equivalenza omotopica, perche' tutti i gruppi di co/omologia superiori sono nulli.