Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con questo esercizio
"Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n; un sottospazio W ⊂ V è detto iperpiano se
la dimensione di W è uguale a n − 1. Dimostrare che l’intersezione di k iperpiani di V ha dimensione
almeno n − k."
Ho provato a ragionare, intuitivamente così: W è generato da n-1 componenti della base di V, considero un altro iperpiano H, anche questo sarà generato da n-1 componenti della base V. La base di W e H può essere uguale, oppure può ...
Ho la matrice $A=((1,-1,0),(-1,0,-1),(0,-1,-1))$ e devo trovare per ogni autospazio, la base.
Gli autovalori sono $\lambda=0, \pm sqrt3$
Per l'autospazio riferito a $\lambda=0$ l'ho trovata ed è $(1,1,-1)$.
Per gli altri due volevo usare cramer, per non stare ad incasinarmi a risolvere il sistema con delle radici dentro. Il problema che il determinate di $A-Isqrt3$ (per quanto riguarda $lambda=sqrt3$)mi viene nullo. Cosa faccio? Non posso applicarlo e l'unica è risolvere il sistema per ...
Calcolare il prodotto scalare e il prodotto vettoriale dei vettori $u = (1; 2;-2)$ e $v = (-2; 0; 1)$ e verifcare
che il vettore $w = (2; 3; 4)$ risulta ortogonale sia a u che a v. Determinare i vettori di modulo 2 ortogonali
sia a u che a v.
-per il prodotto scalare moltiplico $u*v$ che da $-4$
-per il prodotto vettoriale penso alla nozione di determinante $u\wedgev=$
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
1 & 2 & -2 \\
-2 & 0 & 1 \\ ...
Ciao a tutti, vorrei chiedere aiuto su come si calcola il volume di un solido di cui faccio anche fatica a dargli un nome preciso, nn sono un matematico ma un appassionato di audio che deve realizzare un box per altoparlante, diciamo che e un triangolo con piramide tronca, vorrei capire con quale formule e come si procede per ottenere il volume. Allego figura. Grazie mille
I vettori u = i - j, v = j + k, w = k sono linearmente indipendenti?
Come devo ragionare per risolverlo??
Grazie
Buonasera a tutti, avrei bisogno di sapere come si risolve questo sistema omogeneo:
ax - y - z = 0
2x + (1-a)y + 2z = 0
x + y - az = 0
Grazie a tutti per le eventuali risposte.
C'è questo esercizio che non capisco cosa chiede:
"Sia $B = (\vec v_1, \vec v_2)$ la base di $RR^2$ costituita dai vettori
$\vec v_1 = (-3, 3)$
$\vec v_2 = (-1, -1)$
e sia $f : RR^2 \rightarrow RR^2$ l'applicazione lineare tale che
$f(\vec v_1) = (1, 2)$
$f(\vec v_2) = (-2, -4)$
Determinare le matrici $M_(\epsilon B)(f)$, $M_(BB)(f)$, $M_(\epsilon \epsilon)(f)$ e $M_(B \epsilon)(f)$, essendo $\epsilon = (\vec e_1, \vec e_2)$ la base canonica di $RR^2$.
Trovare inoltre l'espressione esplicita $f(x, y)$ dell'applicazione ...
Salve a tutti , non riesco ad andare oltre in questo esercizio che ha dato il prof..
Testo es: $ L(x,y,z)=(-x+z,ax-az,-5x-4y-5z) $
decidere per quali valori di a $ in $ R (reali) , l'endomorfismo L è diagonalizzabile.
io avevo inziato in questo modo l'esercizio :
Soluzione:
verifichiamo le 2 condizioni :
(i)P(x) è completamente riducibile
(ii) per ogni autovalore $ lambda $ : MA($ lambda $) = MG( $ lambda $)
$ A_(L(B))^B =( ( -1 , 0 , 1 ),( a , 0 , -a ),( -5 , -4 , -5 ) ) $ e quindi
$ P(X) = det ( ( -1-X , 0 , 1 ),( a , -X , -a ),( -5 , -4 , -5-X ) ) $
(-1-x)(-x)(-5-x)-4a ...
Teorema (esercizio). Sia $D^2 sub R^2$ il disco chiuso e sia $f: D^2 \mapsto D^2$ continua, dimostrare che esiste almeno un punto fisso $x$, cioè $x \in D^2$ tale che $f(x)=x$.
Ci sono vari suggerimenti[nota]Il tra parentesi () è mio.[/nota]:
1) Se per assurdo $f(x)!=x$ per ogni $x \in D^2$, allora l'intersezione $r_x nn S^1$, dove $r_x$ è la semiretta passante per $x$ di origine $f(x)$, definirebbe una ...
Buonasera,
sto svolgendo esercizi di esame, ho problemi nel calcolare gli autovalori di matrici associate ad applicazioni lineari particolarmente ostiche.
In particolare, ho questo esempio da sottoporre.
Sia l'applicazione lineare $ f:R^3->R^3 $ che ha la matrice associata nel riferimento canonico $ A=( ( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ) ) $
determinare AUTOVALORI f con molteplicità algebrica e geometrica e diagonalizzare se possibile.
Ora, la matrice è simmetrica è quindi è ...
Buondì!
Non riesco a determinare il sostegno della curva di equazioni: $(4x^{2}+y^{2})^{3/2}+8x^{2}=2y^{2}$
Qualche suggerimento?
Grazie
Ciao a tutti, ho dei problemi quando mi chiedono di scrivere la matrice data un'applicazione lineare, cioè non riesco a capire il procedimento logico. Ad esempio, come faccio a risolvere questo esercizio?
Grazie
Buongiorno ragazzi , ho difficoltà nel risolvere il punto tre del seguente esercizio:
Si consideri la funzione:
$ φ : R^{2,2} ×R^{2,2} → R , (A,B) → tr(A^tB)$ ,
dove $tr(A)$ denota la traccia della matrice $A$.
1. Verificare che $φ$ è un prodotto scalare su $R^{2,2}$
2. Dato il sottospazio vettoriale di $R^{2,2}$ :
$F ={A∈R^{2,2} |tr(A)=0}$ ,
trovare la dimensione e una base per $F^⊥$ , complemento ortogonale di $F$ rispetto
alla forma bilineare ...
Salve a tutti, il docente del mio corso di Geometria e Algebra Lineare ci ha lasciato alcune affermazioni da confutare o dimostrare per casa ed una è la seguente:
Comunque dati due spazi vettoriali Vk e Wk, una funzione lineare L:V ->W non iniettiva e una famiglia di vettori F=v1,v2,...,vr
in V linearmente indipendenti, la famiglia L(F)=L(v1),L(v2),...,L(vr) risulta linearmente dipendente.
Chiedo aiuto per la risoluzione poiché questo esercizio era stato indicato come particolarmente semplice ...
Salve, avrei un dubbio relativo alla definizione delle funzioni meromorfe su una superficie di Riemann.
Nei corsi di geometria complessa mi sono state date due definizioni che vi propongo:
(1) Sia $X$ superficie di Riemann e $ EsubX $ un insieme discreto. Una funzione $f$ sulla superficie di Riemann $X$ si dice meromorfa se $ f:X\\E->CC $ è olomorfa e $ AA p inE $ $f$ ha un polo.
(2) Una funzione $f$ sulla ...
So che nelle funzioni x^2+ xy +y^2 + ax +ay + c=0 devo calcolare il delta e poi dipende se é maggiore o minore di 0, ma in funzioni tipo d=10/p
Come so che questa è un'iperbole per esempio?
Sera ragazzi, ho un problema nei confronti del seguente esercizio:
Sia $f : R^4 → R^3 $ l’applicazione lineare così definita: $ f((x_1,x_2,x_3,x_4)) = (2x_1, x_1 −x_2, x_1 +x_2 +x_3) $.
1. Scrivere la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche di $R_4$ e di $R_3$ .
2. Determinare la dimensione e una base sia di $ker f $ sia di $im f$ .
3. Determinare le equazioni dei sottospazi vettoriali $f (W )$, con:
e $f^{−1}(W′)$ , con:
$W = {(x_1,x_2,x_3,x_4) ∈ R^4 | x_1 +x_2 +2x_3 = 0} $ e ...
Ciao a tutti.
Non riesco a capire come provare la seguente asserzioni.
Dato $X$ uno spazio topologico di Hausdorff con almeno due elementi, allora $dim(X)=0$.
La definizione di dimensione di uno spazio topologico X che mi hanno dato a lezione è la seguente:
$\dim(X)=\text{sup}\{n\in\mathbb{N}\text{ tale che esiste una catena di lunghezza } n \text{ di chiusi irriducibili di } X \}$
Grazie!!
Ciao a tutti, ho molti dubbi per quanto riguarda il calcolo del rango di una matrice con il criterio dei minimi.
Se ho ad esempio questa matrice:
$ ( ( 2 , -1 , 2 ),( 1 , 3 , -1 ),( 3 , 2 , 1 ) ) $
Come devo procedere utilizzando il criterio dei minimi (ho le idee abbastanza confuse)?
Se non ho capito male devo calcolare inizialmente il determinante della matrice 3x3 giusto? e poi come devo continuare?
Grazie mille a tutti
Ciao ragazzi, sono nuova qui quindi perdonatemi se non riuscirò a seguire alla lettera il regolamento. Volevo delucidazioni riguardo lo svolgimento di un sistema lineare 4x4. Ecco la mia difficoltà: mi trovo davanti un sistema lineare non omogeneo di 4 equazioni in 4 incognite dopo aver verificato il rango della completa e incompleta giungo a trovare le eventuali soluzioni. Da qui studio il sistema per i valori trovati e giungo alla conclusione che il sistema è incompatibile per il teorema di ...
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