Matrice diagonalizzabile, autovalori
Considera al variare del parametro k la matrice: Ak =
0 k 0 k
1 (k - 1) 0 0
0 0 5 5
0 0 1 1
(i) Trova gli autovalori di Ak e stabilisci per quali valori di k la matrice Ak e' diagonalizzabile;
(ii) per i valori di k per cui Ak e' diagonalizzabile, scrivi una base di autovettori e la matrice diagonale
a cui e' simile;
(iii) trova, se ne esistono, i valori di k per cui esiste una base ortonormale di autovettori.
il determinante che ho trovato è (-λ)(k-1-λ)(5-λ)(1-λ)-5k=0, che sviluppato viene λ^4+(-5-k)λ^3+(6k-1)λ^2+(5-5k)λ-5k=0
Come posso determinare gli autovalori ora? E' possibile che la matrice sia diagonalizabile solo per k=0?
0 k 0 k
1 (k - 1) 0 0
0 0 5 5
0 0 1 1
(i) Trova gli autovalori di Ak e stabilisci per quali valori di k la matrice Ak e' diagonalizzabile;
(ii) per i valori di k per cui Ak e' diagonalizzabile, scrivi una base di autovettori e la matrice diagonale
a cui e' simile;
(iii) trova, se ne esistono, i valori di k per cui esiste una base ortonormale di autovettori.
il determinante che ho trovato è (-λ)(k-1-λ)(5-λ)(1-λ)-5k=0, che sviluppato viene λ^4+(-5-k)λ^3+(6k-1)λ^2+(5-5k)λ-5k=0
Come posso determinare gli autovalori ora? E' possibile che la matrice sia diagonalizabile solo per k=0?
Risposte
ciao,
(i)
il polinomio caratteristico che ho ricavato, tramite la regola di Laplace rispetto all'ultima riga è:
$(1-\lambda)(5-\lambda)(\lambda^2 + \lambda(1-k) -k) =0$
da cui abbiamo:
$\lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=5, \lambda_{3}=0, \lambda_{4}=k$
tutti con molteplicità algebrica pari a 1.
Sicuramente tale endomorfismo è diagonalizzabile se $k!=0,-1,5$
Per vedere ora se k=0 è accettabile, dobbiamo considerare la matrice di partenza per $k=0$, studiarne il polinomio caratterisitico e osservare che la somma delle dimensioni degli autospazi coincida con lo spazio di partenza, o, alternativamente, che la molteplicità algebrica di ogni autovalore corrisponda alla molteplicità geoemtrica del rispettivo autovettore.
Il polinomio caratteristico risulta essere: $(-1 -\lambda)(-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda)=0$
e pertanto gli autovalori sono:
$ \lambda_{1}= 0rarr m.a=2,
\lambda_{2}=-1 rarr m.a=-1,
\lambda_{3}=6 rarr m.a=1 $
Dobbiamo ora determinare l'autospazio per $\lambda_{1}= 0$. Se la dimensione di tale spazio risulta pari a 2, allora per $k=0$ la matrice è diagonalizzabile.
\( \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\vec{x}=\vec{0} \)
Pertanto, cerchiamo lo spazio nullo:
\( \begin{cases} x-y=0 \\ y= \phi \\ z+w=0 \\ w=\chi \end{cases}
\begin{cases} x=y \\ y=\phi \\ z=-w \\ w=\chi \end{cases} \)
e quindi una base dell'autospazio è data da:
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).
La dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore è proprio 2, e pertanto per $k=0$ la matrice è diagonalizzabile.
I casi per k=1 e 5 si fanno analogamente, e vista l'ora, è meglio che vada a dormire altrimenti c'è il rischio che scriva fischi per fiaschi
(ii)per $k=0$, troviamo per ogni autovalore (per $\lambda_{1}=0$ l'abbiamo appena fatto) il rispettivo autospazio!
per $\lambda_{2}=-1$ andiamo a determinare l'autovettore:
\( \begin{cases} x=0 \\ y=\xi \\ z+2w=0 \\ 6z+5w=0 \end{cases} \) da cui segue che:
v= \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
\( \lambda=6\rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \)
Sappiamo che se A è una matrice diagonalizzabile allora essa è simile a un'altra matrice S, tale che quest'ultima ha sulla diagonale gli autovalori secondo questa relazione \( S=P^{-1}AP \), con $p$ matrice diagonalizzante che ha sulle colonne gli autovettori
\( S=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \)
\( P=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \)
$A$ ovviamente è la matrice data in precedenza.
(i)
il polinomio caratteristico che ho ricavato, tramite la regola di Laplace rispetto all'ultima riga è:
$(1-\lambda)(5-\lambda)(\lambda^2 + \lambda(1-k) -k) =0$
da cui abbiamo:
$\lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=5, \lambda_{3}=0, \lambda_{4}=k$
tutti con molteplicità algebrica pari a 1.
Sicuramente tale endomorfismo è diagonalizzabile se $k!=0,-1,5$
Per vedere ora se k=0 è accettabile, dobbiamo considerare la matrice di partenza per $k=0$, studiarne il polinomio caratterisitico e osservare che la somma delle dimensioni degli autospazi coincida con lo spazio di partenza, o, alternativamente, che la molteplicità algebrica di ogni autovalore corrisponda alla molteplicità geoemtrica del rispettivo autovettore.
Il polinomio caratteristico risulta essere: $(-1 -\lambda)(-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda)=0$
e pertanto gli autovalori sono:
$ \lambda_{1}= 0rarr m.a=2,
\lambda_{2}=-1 rarr m.a=-1,
\lambda_{3}=6 rarr m.a=1 $
Dobbiamo ora determinare l'autospazio per $\lambda_{1}= 0$. Se la dimensione di tale spazio risulta pari a 2, allora per $k=0$ la matrice è diagonalizzabile.
\( \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\vec{x}=\vec{0} \)
Pertanto, cerchiamo lo spazio nullo:
\( \begin{cases} x-y=0 \\ y= \phi \\ z+w=0 \\ w=\chi \end{cases}
\begin{cases} x=y \\ y=\phi \\ z=-w \\ w=\chi \end{cases} \)
e quindi una base dell'autospazio è data da:
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).
La dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore è proprio 2, e pertanto per $k=0$ la matrice è diagonalizzabile.
I casi per k=1 e 5 si fanno analogamente, e vista l'ora, è meglio che vada a dormire altrimenti c'è il rischio che scriva fischi per fiaschi
(ii)per $k=0$, troviamo per ogni autovalore (per $\lambda_{1}=0$ l'abbiamo appena fatto) il rispettivo autospazio!
per $\lambda_{2}=-1$ andiamo a determinare l'autovettore:
\( \begin{cases} x=0 \\ y=\xi \\ z+2w=0 \\ 6z+5w=0 \end{cases} \) da cui segue che:
v= \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
\( \lambda=6\rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \)
Sappiamo che se A è una matrice diagonalizzabile allora essa è simile a un'altra matrice S, tale che quest'ultima ha sulla diagonale gli autovalori secondo questa relazione \( S=P^{-1}AP \), con $p$ matrice diagonalizzante che ha sulle colonne gli autovettori
\( S=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \)
\( P=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \)
$A$ ovviamente è la matrice data in precedenza.
Scusami, ma è possibile che tu abbbia sbagliato a calcolare gli autovalori?
Perchè scomponendo λ^2+λ(1−k)−k)=0 io ho trovato λ=k opppure λ=-1
Perchè scomponendo λ^2+λ(1−k)−k)=0 io ho trovato λ=k opppure λ=-1
Esatto,ho commesso un errore di copiatura 
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