Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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2. Esiste k 2 R tale che i vettori v1 = (k - 5)e1 e v2 = ke1 + ke2 formano una base ortogonale di R2?
Facendo il calcolo con il prodotto scalare, ho trovato k=0 oppure k=5; è un risultato plausibile?
Qualcuno può aiutarmi con la prova scritta.. La tipologia è sempre la stess, se potete anche spiegarmi il ragionamento
1)Considerare il seguente endomorfismo in R3:
f(x1)= (3x1 -x2, -x1, +x3, 3x2 + 3x3)
Studiare la diagonalizzabilità di f. Determnare gli autovalori di f e una base di autovettori per ciascun autospazio.
2) In uno spazio euclideo tridimensionale E, in cui sia fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette
r1: 2x+y+2z-5=0
x+z-2=0
r2: x+2y-4z-1=0
2x+y-2z+1=0
Si ...
Salve a tutti, ho una domanda su quest esercizio:
Sia V il sottospazio di $R^4$
generato dai vettori:
$v1 ≡ (0, k − 1, k2 − 1, 3k − 2), v2 ≡ (1, 3, 0, 3), v3 ≡ (−1, −2, 1, −1)$.
Determinare la dimensione e una base di V al variare del parametro reale k
allora, premesso che $rg(A) = rg(A^1)$ dove $A$ è la matrice iniziale e $A^1$ la matrice ridotta a scalini, ho un dubbio:
per svolgere l'esercizio, ho ridotto a scala la matrice associata ai tre vettori:
$ ( ( 0 , 1 , -1 ),( k-1 , 3 , -2 ),( k^2-1 , 0 , 1 ), (3k-2, 3, -1) ) => ( ( -1 , 1 , 0 ),( -2 , 3 , k-1 ),( 1 , 0 , k^2-1 ), (-1, 3, 3k-2) ) => ( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , k-1 ),( 0 , 1 , k^2-1 ), (0, 2, 3k-2) ) => ( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , k-1 ),( 0 , 0 , k^2-k ), (0, 0, k-1) ) =><br />
( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , k-1 ),( 0 , 0 , k^2-1 ), (0, 0, 0) ) $
NOTA BENE: Al ...
Salve questo sarebbe un esercizio svolto dal mio professore in cui però non riesco a capire la logica
Siano v1 $((1),(0),(1))$ v2 $((0),(1),(2))$ v3 $((-1),(1),(2))$
Vettori in R3
Sia A:R3->R3 l'applicazione che permuta i vettori vi
A(V1)=V2 A(v2)=v3 A(v3)=v1
Calcolare la matrice di S rispetto alla base v1, V2, v3
Come soluzione lui mi da la matrice A'= $((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)) $
Quello che non capisco è
Se questa è la matrice che mi trasforma questi vettori come mai se io la vado a ...
Salve a tutti,
vorrei chiedere una cosa che mi sta facendo scervellare.
Sto facendo l'esercizio a pag 118, il 7.14 di questo eserciziario: http://www.dsi.unive.it/~acarraro/Eserc ... eare_2.pdf
Lo riporto qui per completezza:
Si consideri il sistema di equazioni lineari:
x1 − x2 = t − 2
tx1 + (t − 4)x2 = 0
2x1 + (2 − 2t)x2 = 2t − 4
(t parametro reale)
a) Si dica per quali valori di t il sistema `e compatibile.
b) Per i valori di t che rendono il sistema compatibile, trovare le sue soluzioni.
Ho fatto ...
Date due matrici $A, B\in M_\RR(n)$, se esiste $M\in GL(n,\RR)$ tale che $B=M^-1AM$, se B è diagonale, A è diagonale?
Si, vero? Se ho due matrici che so essere simili, so per certo che hanno lo stesso polinomio caratteristico (condizione necessaria ma non sufficiente per la similitudine) e sicuramente sono diagonalizzabili, no?
Di solito quando mi si chiede se due matrici sono simili, dopo aver visto che hanno lo stesso polinomio caratteristico, mi cerco gli autospazi e vedo se la somma ...
salve a tutti ho un dubbio su questo esercizi spero in un vostro aiuto!!
Si consideri il seguente endomorfismo:
f: R2[X]-->R2[X]
ao+a1x+a2x^2-->ao+(4a0-a1+2a2)x+a2x^2
a) Determinare la matrice associata ad rispetto alla base canonica di R2[x]
Ho fatto in questo modo (ma penso sia totalmente sbagliato ):
ho calcolato
f(1,0)-->(4ao-a1+2a2)
f(0,1)-->a2
quindi la matrice mi veiniva:
4 -1 2
...
Buongiorno,
Cc'è un metodo "formale" per capire se una curva o una superficie sono un compatto nello spazio tridimensionale?
Ad esempio per la curva definita dal sistema $ { ( x^2+y^2=1 ),( z=1-xy ):} $ come posso concludere che è limitato?
Mentre per una superficie, ad esempio $ f (x)= x^2+2y^2+3z^2-1 $ posso sicuramente dire che è un chiuso ed intuitivamente so che è limitata, ma come lo dimostro?
Grazie in anticipo.
Propongo un esercizio che potrebbe essere uno spunto interessante una discussione piu' ampia.
Determinare se esiste uno spazio topologico $X$, compatto, tale che esiste un punto $p \in X$ con la proprieta' che $Y = X - \{p\}$ non e' compatto e la compattificazione a un solo punto di $Y$ non e' omeomorfa a $X$.
La risposta a questo esercizio e' un facile (farsi venire in mente l'esempio non e' difficile, forse la dimostrazione rigorosa lo e' ...
Come da titolo, se devo scrivere l'equazione cartesiana del piano passante per i punti A e B e contenente l'origine, i due modi che propongo non dovrebbero essere equivalenti?
Il primo è col determinante:
$|((x-0,y-0,z-0),(x_A-0,y_A-0,z_A-0),(x_B-0,y_B-0,z_B-0))|=0$
Il classico piano passante per 3 punti.
Oppure con la definizione: $ax+by+cz=d$, i coefficienti li troverei con la direzione della retta $AB=((x_B-x_A),(y_B-y_A),(z_B-z_A))$ e poi imporrei il passaggio per l'origine trovando quindi $d$
Però mi tornando due risultati ...
Ciao a tutti! Vorrei proporre un esercizio di topologia in cui si devono confrontare due spazi e stabilire se sono omeomorfi
$S_1 = \text{Toro} - {P}$ $S_2 = S^2-{Q_1, Q_2, Q_3}$ dove chiaramente $P, Q_i$ sono punti
I due spazi hanno lo stesso gruppo fondamentale ($ZZ\astZZ$) per cui per confutare l'esistenza di un omeomorfismo tra i due spazi (non credo proprio che siano omeomorfi) penso si debba usare una qualche proprietà come il numero di componenti connesse oppure magari hanno diversa ...
Ragazzi qualcuno mi spiegherebbe come si calcola l'asse di una parabola? l'esercizio è questo.
$ 1/4x^2(1)+2x(1)x(2)+1/2x(1)x(3)-x^2(3) $ i numeri tra parentesi sarebbero i pedici della conica in forma omogenea (non sapevo come scriverli).
Grazie in anticipo!
Buongiorno a tutti ragazzi, vorrei chiedervi un aiutino su un esercizio. Il testo è il seguente:
Ora il problema non è rispondere alla prima domanda dell'esercizio ma nel scrivere le matrici quadrate che formano i sottospazi U e W. COme faccio a capire "da quante" matrici è formato ognuno dei due sottospazi? Come faccio a scrivere i coefficienti interni?
Mi sta creando abbastanza difficoltà questo tipo di esercizio. Confido in un vostro prezioso aiuto.
Grazie a tutti
Ciao a tutti! Non riesco proprio a trovare una soluzione, anche informale, di questo esercizio:
$S =$ $S^4$ $sub$ $RR^5$ e $K = { (x_1, ..., x_5) in S^4 : x_4 = x_5 = 0}$
$W = S^4 - K$
1. $W$ è connesso per archi?
2. gruppo fondamentale di $W$?
Ho provato sostanzialmente due strade:
1. Cercare dei sottoinsiemi di $W$ connessi per archi con intersezione connessa per archi
2. Considerare $S^4$ come compattificazione di ...
Si consideri l’endomorfismo $f:R^3 →R^4$ con matrice associata $A=((0,0,0),(0,0,1),(1,2,3))$ rispetto alla base ${(1,1,1),(0,2,2),(0,0,3)}$ sia nel dominio che nel codominio. Si determini la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica sia nel dominio che nel codominio.
Ho problemi con esercizi del genere, dopo aver calcolato i vettori nella nuova base, calcolo le immagini moltiplicandoli per la matrice di partenza. Ma non riesco a passare dalle immagini che ho alle immagini nella base ...
Salve a tutti sono Jonas,
Essendo il mio primo post mi presento;studente di 19 anni al momento impegnato nel primo anno della triennale di ingegneria informatica.
Siccome dopo domani dovrei sostenere un esame di Geometria e Algebra avevo ancora questo dubbio che non mi è ancora molto chiaro.
Cosa si intende per [size=130]M(B,B)[/size] e [size=130]M(C,C)[/size]?
Se qualcuno di buon animo mi può rispondere entro domani sera mi farebbe un grande piacere.
Questa è la traccia dell'esercizio:
1. ...
Buondì a tutti, volevo proporvi un esercizio e chiedervi se il mio svolgimento è corretto.
Il testo mi chiede di determinare l'equazione parametrica di una retta tangente una circonferenza nel punto B con centro della circonferenza nel punto A.
$ A=(-1,0,3) $ e $ B=(2,2,-1) $
Ho determinato il vettore direzione del raggio sottraendo B-A e ho ottenuto: $ vr=(3,2,-4) $
Ora so che la retta l deve passare per B e avere il vettore direttore ortogonale al vettore direttore del raggio, ...
Ciao a tutti, un esercizio mi chiede di trovare autovalori, autovettori di verificare se la matrice di partenza A è simile alla matrice diagonale D.
$ A=( ( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 3 , -2 ),( 1 , 0 , -3 , 0 ),( 2 , 2 , 6 , -4 ) ) $
Ho calcolato il polinomio caratteristico: $ x^4+6x^3+9x^2 $
Ho trovato gli autovalori (tra parentesi scrivo le rispettive molteplicità algebriche): $ 0(ma=2) $ e $ -3(ma=1) $;
La matrice D risulterebbe quindi: $ D=( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -3 )) $
Ho trovato gli autovettori (gli scrivo già dentro la matrice P in modo ordinato con ...
L'ho risolto ma non mi trovo con il risultato, verificate anche vuoi se il procedimento è corretto?
Siano $V=(-1,2)$ ed $A(1,1)$; determinare il punto $B$ in modo che il vettore $AB$ abbia modulo $ sqrt(5) $ e sia ortogonale ad $V$. Quante soluzioni ammette il problema ? [Soluzioni: (2,1) e (-2,-1)]
$ABx=Bx-Ax=X-1$
$ABy=By-Ay=Y-1$
$V \cdot AB = Vx \cdot ABx+Vy \cdot ABy = 0 hArr -1\cdot(X-1)+2\cdot(Y-1) = 0 hArr X = 2Y -1$
il punto $B$ avrà ...
salve a tutti ho qui una traccia e molti molti dubbi...
la traccia è la segnuente:
scrivere l'equazione della conica contenente i punti $A=(1,-1)$ $B=(-1,1)$ avente la retta AB come diametro nella direzione data dal punto $P_00=(1,0,0)$ e tale che i punti $R=(0,1)$ ed $Q=(3,-1)$ siano coniugati.
la retta AB e' :$x+y=0$ calcolata con la formula della retta per due punti..
so che due punti sono coniugati quando l'uno appartiene alla polare ...
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