Domanda su matrici associate
Dato l'esercizio:
Sia T l'applicazione lineare da R^3 a R^3 definita da T(x, y, z) = (3x-2y, x+y+z, 2x-3y-z), si scriva la matrice associata a T rispetto alla base B={(2,1,0), (1,1,0), (0,1,1)}.
A quanto ho capito questo genere di esercizio si fa creando la matrice associata partendo dalla base che prendo in considerazione per lo spazio V, e poi esprimo i vettori di questa matrice tramite le coordinate che li definiscono moltiplicandosi per la base che considero per lo spazio W.
Ma in un caso come questo, in cui non mi viene specificata la base di V e nemmeno la base di W, io come faccio a raccapezzarmici?
Nel risultato dell'esercizio la matrice viene creata facendo l'immagine della base B e riesprimendola con le coordinate che si moltiplicano per la stessa base B. Che senso ha? Se prendo letteralmente la consegna non mi basterebbe fare l'immagine della base B?
Sia T l'applicazione lineare da R^3 a R^3 definita da T(x, y, z) = (3x-2y, x+y+z, 2x-3y-z), si scriva la matrice associata a T rispetto alla base B={(2,1,0), (1,1,0), (0,1,1)}.
A quanto ho capito questo genere di esercizio si fa creando la matrice associata partendo dalla base che prendo in considerazione per lo spazio V, e poi esprimo i vettori di questa matrice tramite le coordinate che li definiscono moltiplicandosi per la base che considero per lo spazio W.
Ma in un caso come questo, in cui non mi viene specificata la base di V e nemmeno la base di W, io come faccio a raccapezzarmici?
Nel risultato dell'esercizio la matrice viene creata facendo l'immagine della base B e riesprimendola con le coordinate che si moltiplicano per la stessa base B. Che senso ha? Se prendo letteralmente la consegna non mi basterebbe fare l'immagine della base B?
Risposte
Quando si scrive:
$T(x, y, z)=(3x-2y,x+y+z,2x-3y-z)$
le componenti del vettore $(x,y,z)$ sono quelle rispetto alla base naturale. Quindi:
$A=((3,-2,0),(1,1,1),(2,-3,-1))$
è la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base naturale. Quella che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base assegnata si ricava dall'usuale formula del cambiamento di base:
$B=((2,1,0),(1,1,1),(0,0,1))^(-1)*((3,-2,0),(1,1,1),(2,-3,-1))*((2,1,0),(1,1,1),(0,0,1))$
Si può procedere alternativamente determinando le immagini dei vettori della base assegnata:
$T(2,1,0)=(4,3,1) ^^ T(1,1,0)=(1,2,-1) ^^ T(0,1,1)=(-2,2,-4)$
e scrivere la seguente matrice:
$C=((4,1,-2),(3,2,2),(1,-1,-4))$
che rappresenta l'endomorfismo ricevendo in ingresso le componenti rispetto alla base assegnata e fornendo in uscita le componenti rispetto alla base naturale. In questo caso, per completare la consegna:
$B=((2,1,0),(1,1,1),(0,0,1))^(-1)*((4,1,-2),(3,2,2),(1,-1,-4))$
Infatti:
$((3,-2,0),(1,1,1),(2,-3,-1))*((2,1,0),(1,1,1),(0,0,1))=((4,1,-2),(3,2,2),(1,-1,-4))$
$T(x, y, z)=(3x-2y,x+y+z,2x-3y-z)$
le componenti del vettore $(x,y,z)$ sono quelle rispetto alla base naturale. Quindi:
$A=((3,-2,0),(1,1,1),(2,-3,-1))$
è la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base naturale. Quella che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base assegnata si ricava dall'usuale formula del cambiamento di base:
$B=((2,1,0),(1,1,1),(0,0,1))^(-1)*((3,-2,0),(1,1,1),(2,-3,-1))*((2,1,0),(1,1,1),(0,0,1))$
Si può procedere alternativamente determinando le immagini dei vettori della base assegnata:
$T(2,1,0)=(4,3,1) ^^ T(1,1,0)=(1,2,-1) ^^ T(0,1,1)=(-2,2,-4)$
e scrivere la seguente matrice:
$C=((4,1,-2),(3,2,2),(1,-1,-4))$
che rappresenta l'endomorfismo ricevendo in ingresso le componenti rispetto alla base assegnata e fornendo in uscita le componenti rispetto alla base naturale. In questo caso, per completare la consegna:
$B=((2,1,0),(1,1,1),(0,0,1))^(-1)*((4,1,-2),(3,2,2),(1,-1,-4))$
Infatti:
$((3,-2,0),(1,1,1),(2,-3,-1))*((2,1,0),(1,1,1),(0,0,1))=((4,1,-2),(3,2,2),(1,-1,-4))$
Scusa ma io non capisco proprio il discorso che "le componenti del vettore (x,y,z) sono quelle rispetto alla base naturale", cosa significa?
"Leoddio":
...non capisco proprio il discorso che "le componenti del vettore (x,y,z) sono quelle rispetto alla base naturale"...
Non hai tutti i torti. Avrei dovuto dire "il primo, il secondo e il terzo numero di quella tripletta ordinata di numeri reali, e che identificano la tripletta univocamente, sono anche le componenti del vettore rispetto alla base naturale". Volevo solo risparmiare tempo e spazio. Ad ogni modo, non bisogna confondere il vettore, elemento dello spazio vettoriale, con le sue componenti. Per esempio, il vettore:
$((2),(-3),(-9)) in RR^3$
è semplicemente una tripletta di numeri reali. A questo punto della discussione, non è nemmeno necessario scomodare il concetto di componenti. Solo quando si cerca di esprimere un vettore come combinazione lineare di vettori che costituiscono una base, i coefficienti della combinazione lineare vengono chiamati componenti del vettore rispetto alla base medesima. Allora, poichè:
$((2),(-3),(-9))=2((1),(0),(0))-3((0),(1),(0))-9((0),(0),(1))$
la tripletta di numeri che costituiscono il vettore sono anche le componenti rispetto a quella che si è soliti chiamare base naturale. Tuttavia, scrivendo:
$((2),(-3),(-9))=4((1),(1),(0))-2((1),(0),(1))-7((0),(1),(1))$
$4$, $-2$ e $-7$ risultano essere le componenti del medesimo vettore rispetto alla base costituita dai vettori a secondo membro dell'uguaglianza di cui sopra. Allo stesso modo, essendo:
$((1),(1),(0))=1((1),(1),(0))+0((1),(0),(1))+0((0),(1),(1))$
$((1),(0),(1))=0((1),(1),(0))+1((1),(0),(1))+0((0),(1),(1))$
$((0),(1),(1))=0((1),(1),(0))+0((1),(0),(1))+1((0),(1),(1))$
della base costituita dai tre vettori a primo membro, il primo ha componenti $(1,0,0)$, il secondo ha componenti $(0,1,0)$, il terzo ha componenti $(0,0,1)$ rispetto alla base medesima. Per questo motivo, la seguente matrice:
$((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))$
rappresenta la matrice del cambiamento di base da quella base alla base naturale, cioè, riceve in ingresso le componenti rispetto a quella base e fornisce in uscita le componenti rispetto alla base naturale:
$((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))((1),(0),(0))=((1),(1),(0))$
$((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))((0),(1),(0))=((1),(0),(1))$
$((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))((0),(0),(1))=((0),(1),(1))$
Ovviamente, la seguente matrice:
$((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))^(-1)$
rende il servizio inverso.
grazie per le spiegazioni ma io ho un serio problema a interpretare le consegne di questo tipo di esercizio.
Un esercizio ad esempio mi chiede "determinare la matrice M associata a T:R^3 -> R^2 rispetto alla base B di R^3 e alla base canonica di R^2", dalla consegna io sinceramente non capisco niente, ma faccio l'esercizio perché comunque mi specifica che la base B riguarda il dominio e la base canonica il codominio, dunque faccio una matrice data dalle immagini della base del dominio che sia leggibile tramite la base del codominio.
Se invece, come nell'esercizio che ho postato, mi viene chiesto "Sia T l'applicazione lineare da R^3 a R^3 si scriva la matrice associata a T rispetto alla base B" come faccio a capire che devo fare l'immagine della base data e poi renderla di nuovo leggibile tramite la base stessa? Non avrei già fatto una matrice associata rispetto a B facendo le immagini della base di B?
Scusa ma davvero ho una confusione in testa terribile, non riesco a trovare un significato a quel "rispetto" nella consegna degli esercizi...
Un esercizio ad esempio mi chiede "determinare la matrice M associata a T:R^3 -> R^2 rispetto alla base B di R^3 e alla base canonica di R^2", dalla consegna io sinceramente non capisco niente, ma faccio l'esercizio perché comunque mi specifica che la base B riguarda il dominio e la base canonica il codominio, dunque faccio una matrice data dalle immagini della base del dominio che sia leggibile tramite la base del codominio.
Se invece, come nell'esercizio che ho postato, mi viene chiesto "Sia T l'applicazione lineare da R^3 a R^3 si scriva la matrice associata a T rispetto alla base B" come faccio a capire che devo fare l'immagine della base data e poi renderla di nuovo leggibile tramite la base stessa? Non avrei già fatto una matrice associata rispetto a B facendo le immagini della base di B?
Scusa ma davvero ho una confusione in testa terribile, non riesco a trovare un significato a quel "rispetto" nella consegna degli esercizi...
Quando lo spazio vettoriale di partenza coincide con quello di arrivo, una trasformazione lineare di questo tipo si chiama "endomorfismo", se non è detto altrimenti, le componenti del vettore in ingresso e le componenti del vettore in uscita sono sempre considerate rispetto a una medesima base. Tuttavia, come ti ho suggerito nel messaggio precedente, è possibile esprimere la matrice che rappresenta l'endomorfismo anche rispetto a due basi diverse, una per il vettore in ingresso, una per il vettore in uscita. Se posso darti un consiglio, eviterei di imparare a fare un esercizio senza capire niente. Non puoi studiare tutto a memoria, prima o poi i nodi vengono al pettine. E poi, a che serve?
si si, lo so che non posso imparare a memoria e cerco di non farlo, le tue spiegazioni mi sono servite per chiarirmi dei concetti, so bene cos'è un endomorfismo ma non sapevo che se non è detto altrimenti allora si usa la sola base che viene esplicitata, cercavo di rendere il problema il più semplice e meccanico possibile per chiarirmi la questione delle consegne che per me sono scritte in un pessimo italiano...
Scusa ma tornando alla tua prima risposta tu dici che:
Si può procedere alternativamente determinando le immagini dei vettori della base assegnata e scrivere la seguente matrice che rappresenta l'endomorfismo ricevendo in ingresso le componenti rispetto alla base assegnata e fornendo in uscita le componenti rispetto alla base naturale.
Potresti spiegarmi meglio il discorso per cui la matrice fornisce in uscita le componenti rispetto alla base naturale e non a quella assegnata?
Si può procedere alternativamente determinando le immagini dei vettori della base assegnata e scrivere la seguente matrice che rappresenta l'endomorfismo ricevendo in ingresso le componenti rispetto alla base assegnata e fornendo in uscita le componenti rispetto alla base naturale.
Potresti spiegarmi meglio il discorso per cui la matrice fornisce in uscita le componenti rispetto alla base naturale e non a quella assegnata?
Per esempio, il vettore:
$((2),(1),(0))$
ha componenti $(1,0,0)$ rispetto alla base assegnata:
$((2),(1),(0))=1((2),(1),(0))+0((1),(1),(0))+0((0),(1),(1))$
e il vettore:
$((4),(3),(1))$
ha componenti $(4,3,1)$ rispetto alla base naturale:
$((4),(3),(1))=4((1),(0),(0))+3((0),(1),(0))+1((0),(0),(1))$
Poiché:
$T(2,1,0)=(4,3,1) ^^ ((4,1,-2),(3,2,2),(1,-1,-4))((1),(0),(0))=((4),(3),(1))$
la matrice quadrata di cui sopra riceve in ingresso le componenti del vettore, prima della trasformazione, rispetto alla base assegnata e fornisce in uscita le componenti del vettore, dopo la trasformazione, rispetto alla base naturale.
$((2),(1),(0))$
ha componenti $(1,0,0)$ rispetto alla base assegnata:
$((2),(1),(0))=1((2),(1),(0))+0((1),(1),(0))+0((0),(1),(1))$
e il vettore:
$((4),(3),(1))$
ha componenti $(4,3,1)$ rispetto alla base naturale:
$((4),(3),(1))=4((1),(0),(0))+3((0),(1),(0))+1((0),(0),(1))$
Poiché:
$T(2,1,0)=(4,3,1) ^^ ((4,1,-2),(3,2,2),(1,-1,-4))((1),(0),(0))=((4),(3),(1))$
la matrice quadrata di cui sopra riceve in ingresso le componenti del vettore, prima della trasformazione, rispetto alla base assegnata e fornisce in uscita le componenti del vettore, dopo la trasformazione, rispetto alla base naturale.
forse mi sono perso un pezzo di teoria riguardo le applicazioni lineari ma perché la trasformazione restituisce dei vettori rispetto alla base naturale?
Nella seguente scrittura:
$T(x, y, z)=(3x-2y,x+y+z,2x-3y-z)$
$((x),(y),(z)) ^^ ((3x-2y),(x+y+z),(2x-3y-z))$ sono semplicemente vettori $in RR^3$. Tuttavia, i medesimi vettori colonna:
$((x),(y),(z)) ^^ ((3x-2y),(x+y+z),(2x-3y-z))$
rappresentano anche le tre componenti solo rispetto alla base naturale. Insomma, non devi confondere un vettore $in RR^3$ con le sue componenti.
$T(x, y, z)=(3x-2y,x+y+z,2x-3y-z)$
$((x),(y),(z)) ^^ ((3x-2y),(x+y+z),(2x-3y-z))$ sono semplicemente vettori $in RR^3$. Tuttavia, i medesimi vettori colonna:
$((x),(y),(z)) ^^ ((3x-2y),(x+y+z),(2x-3y-z))$
rappresentano anche le tre componenti solo rispetto alla base naturale. Insomma, non devi confondere un vettore $in RR^3$ con le sue componenti.
ma quindi il discorso è che rappresentano le componenti solo rispetto alla base naturale perché i coefficienti delle incognite x, y, z nel vettore delle incognite sono appunto degli 1?
Ma se ti ho appena scritto che anche il seguente vettore colonna:
$((3x-2y),(x+y+z),(2x-3y-z))$
può rappresentare, non solo il vettore, ma anche le tre componenti rispetto alla base naturale. Insomma, cosa c'entrano i coefficienti che moltiplicano le variabili? Se posso darti un consiglio, procurati un buon testo di algebra lineare e comincia a studiarlo criticamente. Stai veramente facendo una confusione incredibile. Fin troppa per poterti aiutare.
$((3x-2y),(x+y+z),(2x-3y-z))$
può rappresentare, non solo il vettore, ma anche le tre componenti rispetto alla base naturale. Insomma, cosa c'entrano i coefficienti che moltiplicano le variabili? Se posso darti un consiglio, procurati un buon testo di algebra lineare e comincia a studiarlo criticamente. Stai veramente facendo una confusione incredibile. Fin troppa per poterti aiutare.
scusa ma non capisco proprio perché esista la discriminazione secondo cui la trasformazione rappresenti le componenti solo rispetto alla base naturale? e chiedevo se fosse per il fatto che le incognite nel vettore (x, y, z) avessero come coefficiente 1
Premesso che avevo già cercato di risolvere il tuo dubbio, evidentemente senza riuscirci, ti informo che mi sono definitivamente arreso.
si ho capito che quel vettore colonna "può rappresentare, non solo il vettore, ma anche le tre componenti rispetto alla base naturale" e tra l'altro prima riguardo ciò avevi anche scritto riguardo a quei vettori che "rappresentano anche le tre componenti solo rispetto alla base naturale".
La mia domanda, che evidentemente continuo a postare in modo chiaro è semplicemente: PERCHÉ il vettore [ ( 3x-2y ),( x+y+z ),( 2x-3y-z ) ] rappresenta le componenti SOLO rispetto alla base naturale?
La mia domanda, che evidentemente continuo a postare in modo chiaro è semplicemente: PERCHÉ il vettore [ ( 3x-2y ),( x+y+z ),( 2x-3y-z ) ] rappresenta le componenti SOLO rispetto alla base naturale?
"Leoddio":
PERCHÉ il vettore $ ( 3x-2y ),( x+y+z ),( 2x-3y-z ) $ rappresenta le componenti SOLO rispetto alla base naturale?
Una base è un insieme di vettori con i quali si possono scrivere i vettori di uno spazio vettoriale in un modo univoco.
Uno spazio vettoriale ha una miriade di basi distinte, ma, in genere, per semplificare i calcoli si predilige (e si sottintende) la base canonica; nel senso che, se non viene specificato, i vettori vengono scritti considerando la base canonica.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo