Endomorfismo Semplice

[Fed201]

Salve mi trovo in difficoltà per verificare se una matrice è diagonalizzabile, e sopratutto quando ci sono incognite nella matrice, metto un esercizio:

Si consideri per ogni t che appartiene a R la matrice: $((3,6,-3),(0,1,1),(0,t,-1))$
a) determinare per quali t, la matrice non è diagonalizzabile
b) se possibile trovare una base di R^3 formata di autovettori della matrice per t=8

io ho capito che per vedere se è diagonalizzabile la molteplicità geometrica ed algebrica devono coincidere, ma ho anche letto che bisogna calcolare una base di un autospazio e non so bene come collocarlo.
Mentre per il punto b ho ben chiaro come calcolare gli autovalori mentre non riesco a capire come calcolare gli autovettori e soprattutto se ogni autovettore corrisponde ad un autovalore o se è l'insieme degli autovettori.

Grazie in anticipo

[feddy]

La molteplicità geometrica è la dimensione del $ker(A-lambdaI)$, cioè dell' autospazio relativo all'autovalore $lambda$.

Una matrice è diagonalizzabile se e solo se $m.a=m.g foralllambda_i$.

Equivalentemente, se la matrice di dimensione $n$ (nel tuo caso 3) ammette $n$ autovalori distinti ( qui 3), è sicuramente diagonalizzabile.


ad ogni modo... di questo tipo di esercizi (risolti) ce ne sono moltissimi.

[Fed201]

ok quindi dato che so che per essere diagonalizzabile questa matrice nello specifico deve avere 3 autovalori, parto dagli autovalori che ho trovato $\lambda$ 1= 3, $\lambda$ 2= + o - (t+1)^1/2 e poi controllo per quali t otterrei 3 valori, quindi per t maggiore o uguale a zero ( sennò andrei nei complessi), e per t diverso da 8 perchè sennò ritornerei al primo autovalore =3
Giusto? Questo passaggio in particolare non mi è chiaro per il resto ho trovato alcuni esempi come hai suggerito tu

[feddy]

"Fed201":ok quindi dato che so che per essere diagonalizzabile questa matrice nello specifico deve avere 3 autovalori

Attento !

Se hai 3 autovalori distinti è sicuramente diagonalizzabile.
Potrebbe benissimo avere 2 autovalori, ma tali per cui la molteplicità geometrica di ognuno coincide con la molteplicità algebrica.

Ad ogni modo, una volta individuati i valori di $t$ per cui ammette autovalori uguali, bisogna discuterli.

[Fed201]

ok perfetto adesso ho capito, grazie mille

[feddy]

Ti lascio in spoiler la soluzione:

Per $t!=-1,8$ la matrice è sicuramente diagonalizzabile, con $t>= -1$.

Andiamo a vedere cosa succede per $t=-1$. La matrice ha:

$lambda_1=0$ con molteplicità algebrica pari a 2.
$lambda_2=3$ con m.a=1.

Trovando $ker(A-lambda_1I)=0$ si ha che l'autovettore associato all'autovalore $lambda_1=0$ è $((3),(-1),(1))$. La molteplicità geometrica è pari a $1$, e visto che non coincide con quella algebrica: per $t=-1$ non è diagonalizzabile.


Per t=8 la matrice è diagonalizzabile: gli autovalori sono : $lambda_1=3$ con molteplicità algebrica pari a 2 e $lambda_2=-3$ con molteplicità algebrica pari a 1.

L'autospazio relativo a $3$ è $((1),(0),(0)),((0),(1),(2)) $: la molt. geoemtrica è 2 e coincide con quella algebrica.

Per $lambda_2=-3$ l'autospazio è costituito dall'autovettore $((-3),(1),(-4))$: la molteplicità geometrica è 1 e coincide con quella algebrica.

La matrice è diagonalizzabile per $t=8$.


Per $t=8$ la base di autovettori è data da $ P=[ ( -3,0,1 ),(1,1,0 ),( -4,2,0 ) ] $ .