Traccia e autovalori di una matrice 3x3
Salve ragazzi, sono alle prese con alcuni esercizi per la preparazione dell'esame di geometria.
Attualmente riesco a ottenere gli autovalori e gli autovettori associati ad una generica matrice, avendone capito il significato, ma mi trovo in difficolta davanti ad un punto di un esercizio, per il quale non trovo il sistema con il quale affrontarlo.
tale punto recita così:
Sia B una matrice 3 x3 con gli autovalori -3; 3 e 5: Calcolare la traccia di 2(B^ 2)+B;
conosco la relazione tra traccia e autovalori, e determinante e autovalori.
Ma non riesco a trovare il sistema per risolvere il punto.
Spero mi possiate aiutare.
Grazie.
Attualmente riesco a ottenere gli autovalori e gli autovettori associati ad una generica matrice, avendone capito il significato, ma mi trovo in difficolta davanti ad un punto di un esercizio, per il quale non trovo il sistema con il quale affrontarlo.
tale punto recita così:
Sia B una matrice 3 x3 con gli autovalori -3; 3 e 5: Calcolare la traccia di 2(B^ 2)+B;
conosco la relazione tra traccia e autovalori, e determinante e autovalori.
Ma non riesco a trovare il sistema per risolvere il punto.
Spero mi possiate aiutare.
Grazie.
Risposte
Osserva che $\lambda$ è autovalore per $B$ se esiste $v \ne 0$ tale che $Bv = \lambda v$. Ma allora questo implica che $B^2v= \lambda^2 v$ cioè $\lambda^2$ è autovalore per $B^2$. Sapresti continuare?
Ciao Antimius e grazie per la rapida risposta.
Vediamo se a partire dal tuo spunto riesco a procedere correttamente. Per ogni autovalore e rispettivo autovettore ad esso associato.
se \( Bv=\lambda v \) , ... e dunque è anche vero come hai indicato tu che:
\( B^2v=\lambda ^2v \)
continuando posso scrivere
\( (2B^2+B)v=(2\lambda ^2+\lambda )v \)
dunque posso ottenere la traccia della matrice
\( (2B^2+B) \) come somma dei rispettivi autovalori \( (2\lambda ^2+\lambda )v \)
é corretto?
Vediamo se a partire dal tuo spunto riesco a procedere correttamente. Per ogni autovalore e rispettivo autovettore ad esso associato.
se \( Bv=\lambda v \) , ... e dunque è anche vero come hai indicato tu che:
\( B^2v=\lambda ^2v \)
continuando posso scrivere
\( (2B^2+B)v=(2\lambda ^2+\lambda )v \)
dunque posso ottenere la traccia della matrice
\( (2B^2+B) \) come somma dei rispettivi autovalori \( (2\lambda ^2+\lambda )v \)
é corretto?
Sì, è corretto 
molte grazie Antimius.... e mi stavo complicando l'esistenza con l'mpossibile ricerca della matrice B a partire dai suoi autovalori.
Ho ancora delle grosse lacune per quanto riguarda la teoria.
Ho ancora delle grosse lacune per quanto riguarda la teoria.
Purtroppo quello non puoi farlo. Perché matrici diverse possono avere gli stessi autovalori. Ad esempio,
$$\begin{pmatrix}
-3 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-3 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}$$
sono matrici diverse con gli stessi autovalori.
$$\begin{pmatrix}
-3 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-3 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}$$
sono matrici diverse con gli stessi autovalori.
infatti è stata una strada che non ha portato a nessun risultato.... ma ci sono arrivato solo dopo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo