Verifica di appartenenza all'immagine
Salve! 
Premettendo che ci ho sbattuto la testa per tutto il pomeriggio, volevo chiedere un aiuto nella risoluzione del seguente esercizio:
"Sia data, al variare del parametro reale $t$, l' applicazione $f_(t):R^3rarrR^3$ data da:
$f_(t)(e_(1)) = (t, 0 ,0)$
$f_(t)(e_(2)) = (t+1, t^2+t ,0)$
$f_(t)(e_(3)) = (t^2-t, t-1 ,t^2-t)$
(a) Dire per quali valori di $t$ il vettore $v = (0,4 -4)$ appartiene all'immagine di $f_(t)$
(b) Determinare l'antiimmagine di $v$ per $t=-1$
Grazie!
Premettendo che ci ho sbattuto la testa per tutto il pomeriggio, volevo chiedere un aiuto nella risoluzione del seguente esercizio:
"Sia data, al variare del parametro reale $t$, l' applicazione $f_(t):R^3rarrR^3$ data da:
$f_(t)(e_(1)) = (t, 0 ,0)$
$f_(t)(e_(2)) = (t+1, t^2+t ,0)$
$f_(t)(e_(3)) = (t^2-t, t-1 ,t^2-t)$
(a) Dire per quali valori di $t$ il vettore $v = (0,4 -4)$ appartiene all'immagine di $f_(t)$
(b) Determinare l'antiimmagine di $v$ per $t=-1$
Grazie!
Risposte
Io comincerei scrivendo la matrice associata all'applicazione. Nei casi in cui il rango è 3, l'immagine è tutto $\mathbb{R}^3$ e quindi $v$ ci apparterà necessariamente. Negli altri casi, si tratta di vedere da che vettori è generata.
Hai detto che ci hai sbattuto la testa...almeno posta il tuo tentativo di risoluzione, o perlomeno, quello che ti è venuto in mente.
Inoltre, vorrei farti notare che di questa tipologia di esercizi [risolti] c'è pieno su internet.
Un paio di considerazioni.
i) Se l'applicazione è suriettiva, allora sicuramente qualsiasi vettore di $RR^3$ sta nell'immagine di $f_t$ .
ii)Se il $detA!=0$ alloral'applicazione è suriettiva (nel nostro caso, poiché c'è un parametro $t$, dovremmo discutere i vari casi).
iii)Definizione di antiimmagine di un vettore. $ f^-1(v)={w in W|Aw=v} $ , con $V$ e $W$ spazi rispettivamente di arrivo e partenza.
iv)Un vettore appartiene all'immagine se esso è riconducibile a una combinazione lineare dei vettori che generano l'immagine.
Inoltre, vorrei farti notare che di questa tipologia di esercizi [risolti] c'è pieno su internet.
Un paio di considerazioni.
i) Se l'applicazione è suriettiva, allora sicuramente qualsiasi vettore di $RR^3$ sta nell'immagine di $f_t$ .
ii)Se il $detA!=0$ alloral'applicazione è suriettiva (nel nostro caso, poiché c'è un parametro $t$, dovremmo discutere i vari casi).
iii)Definizione di antiimmagine di un vettore. $ f^-1(v)={w in W|Aw=v} $ , con $V$ e $W$ spazi rispettivamente di arrivo e partenza.
iv)Un vettore appartiene all'immagine se esso è riconducibile a una combinazione lineare dei vettori che generano l'immagine.
edit: in spoiler la soluzione
feddy veramente ti ringrazio di cuore! Chiedo scusa se ho fatto un post un po' frettoloso e non mi sono preso la briga di cercare più di tanto , ma domani ho l'esame e comincio a sentirmi un po' sotto pressione 
Il mio problema è che facendo $f_(t)|_(t = 0)$ ottengo: $ | ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ) | $
ovvero che $Im f_(t) = span((0,1,0); (0,0,1))$ poichè i pivot sono sulla seconda e terza colonna.
Questo è l'unico passaggio che non mi è chiaro
Grazie ancora
EDIT: Pura distrazione, risolto. Lascio il ragionamento sbagliato perchè spero possa essere da esempio per i posteri
Il mio problema è che facendo $f_(t)|_(t = 0)$ ottengo: $ | ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ) | $
ovvero che $Im f_(t) = span((0,1,0); (0,0,1))$ poichè i pivot sono sulla seconda e terza colonna.
Questo è l'unico passaggio che non mi è chiaro
Grazie ancora
EDIT: Pura distrazione, risolto. Lascio il ragionamento sbagliato perchè spero possa essere da esempio per i posteri
Eh.. e quindi come puoi vedere tale immagine non genere $v $. Se ho capito bene la domanda
Risolto, tranquillo, errore di distrazione. Grazie ancora! 
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