Curvatura Geodetica

[V123E]

Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con la Curvatura Geodetica - in rete non si trova proprio nulla Ho la seguente superficie: $\sigma (u,v)=(u^2,v^2, \sqrt{1+u^2+v^2})$ e devo calcolare la curvatura geodetica della curva a livello $h$ con equazione in parametro d'arco $\alpha(t)=(\sqrt{h^2-1}cos\frac{t}{\sqrt{h^2-1}},\sqrt{h^2-1}sin\frac{t}{\sqrt{h^2-1}},h)$. Escludendo il calcolare la normale, la derivata seconda della parametrizzazione ecc ecc, come si può trovare la curvatura geodetica rapidamente - anche tramite una dimostrazione o un ragionamento?
Grazie

[elvis3]

Sicuro che la superficie non sia \(\sigma(u,v)=\left({\color{red} u},{\color{red} v},\sqrt{1+u^2+v^2}\right)\)?

[V123E]

Sì, errore di battitura, scusa!

[elvis3]

La curva \(\alpha\) è una circonferenza di raggio \(r = \sqrt{h^2 - 1}\) e, dunque, ha curvatura \(\vec{k}\) di modulo costante \(1/r\). Dalla simmetria circolare di \(\sigma\) e dall'orientazione di \(\alpha\) deduciamo che la curvatura geodetica \(k_g\) è costante e positiva: \(k_g\) è il modulo della proiezione di \(\vec{k}\) su un qualsiasi piano tangente. In particolare, se \(\varphi\) è l'angolo (costante) con cui il piano \(z=h\) interseca la superficie \(\sigma\), abbiamo\[k_g = \frac{1}{r}\,\cos \varphi\]

[V123E]

Grazie mille davvero!

[elvis3]

Esercizio. Determinare il valore della curvatura totale\[\int_\sigma K\,\mathrm{d}S\][dove \(K\) è la curvatura gaussiana nei punti della superficie \(\sigma\)]