Sistema di equazioni differenziali. Dubbio?
Ciao a tutti,
ecco un dubbio che mi assilla da qualche giorno:
consideriamo l'equazione differenziale:
$ {dX(t)}/dt=AX(t) $
in cui $ X(t) $ è un vettore di R^n.
Le componenti di X(t) non sono a loro volta vettori?
Infatti quando trovo le soluzioni dell'equazione differenziale trovo somme tra esponenziali.
Forse faccio confusione tra vettori e coordinate.... :O
Grazie
ecco un dubbio che mi assilla da qualche giorno:
consideriamo l'equazione differenziale:
$ {dX(t)}/dt=AX(t) $
in cui $ X(t) $ è un vettore di R^n.
Le componenti di X(t) non sono a loro volta vettori?
Infatti quando trovo le soluzioni dell'equazione differenziale trovo somme tra esponenziali.
Forse faccio confusione tra vettori e coordinate.... :O
Grazie
Risposte
Se $x(t) \in \mathbb{R}^n$, si ha: $x(t) = (x_1(t), \ldots, x_n(t))$ dove le funzioni $x_i(t)$ sono scalari.
Il fatto che la soluzione sia somma di esponenziali è conseguenza del fatto che lo spazio delle soluzioni ha come base gli esponenziali (più in generale funzioni della forma $t^{\alpha}\e^{\lambdat})$ ed ha dimensione $n$.
Ma attento che lo spazio delle soluzioni è uno spazio di funzioni e non $\mathbb{R}^n$: i vettori sono le funzioni $t \mapsto t^{\alpha}\e^{\lambdat}$ e non vettori numerici.
Il fatto che la soluzione sia somma di esponenziali è conseguenza del fatto che lo spazio delle soluzioni ha come base gli esponenziali (più in generale funzioni della forma $t^{\alpha}\e^{\lambdat})$ ed ha dimensione $n$.
Ma attento che lo spazio delle soluzioni è uno spazio di funzioni e non $\mathbb{R}^n$: i vettori sono le funzioni $t \mapsto t^{\alpha}\e^{\lambdat}$ e non vettori numerici.
Quindi significa che gli xi(t) sono le coordinate rispetto ad una base formata da somma di esponenziali che devo trovare tramite la matrice di passaggio?
Grazie
Grazie
No no. Le $x_i(t)$ sono solo le coordinate di $x(t)$ nella base canonica di $\mathbb{R}^n$. Per $t$ fissato quello è semplicemente un vettore.
Quando vai a vedere lo spazio delle soluzioni, sono le funzioni a essere vettori. Per capirci, se indico $\phi_{\alpha \lambda}(t) = t^{\alpha} e^{\lambda t}$, è la funzione $\phi_{\alpha \lambda}$ a essere un elemento della base (e non il valore calcolato per un particolare $t$).
Questo vuol dire che la funzione soluzione sarà del tipo[nota]In realtà questa che ho scritto è la soluzione generale per un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine n. Ma è noto che un'equazione di ordine n può essere trasformata in un sistema e viceversa, quindi il discorso non cambia, se non per il fatto che nel caso del sistema le soluzioni sono funzioni a valori vettoriali e non scalari (e questo credo sia il punto che ti ha creato confusione).[/nota]:
$$ f = \sum c_{\alpha \lambda} \phi_{\alpha \lambda}$$
Ovviamente, quando vai a calcolare la soluzione in un particolare $t$ ottieni: $$ f(t) = \sum c_{\alpha \lambda} \phi_{\alpha \lambda}(t)$$
Il punto della questione è che la base dello spazio di soluzioni è formata da funzioni e non da vettori numerici. Poi che queste funzioni siano a valori in $\mathbb{R}^n$ è un altro discorso. Ma sono due spazi vettoriali diversi: uno è lo spazio delle soluzioni e l'altro è lo spazio dei vettori numerici $\mathbb{R}^n$ che è semplicemente dove prendono i valori quelle funzioni (motivo per cui per t fissato, puoi scriverle come una n-upla).
Spero sia chiara la differenza.
Quando vai a vedere lo spazio delle soluzioni, sono le funzioni a essere vettori. Per capirci, se indico $\phi_{\alpha \lambda}(t) = t^{\alpha} e^{\lambda t}$, è la funzione $\phi_{\alpha \lambda}$ a essere un elemento della base (e non il valore calcolato per un particolare $t$).
Questo vuol dire che la funzione soluzione sarà del tipo[nota]In realtà questa che ho scritto è la soluzione generale per un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine n. Ma è noto che un'equazione di ordine n può essere trasformata in un sistema e viceversa, quindi il discorso non cambia, se non per il fatto che nel caso del sistema le soluzioni sono funzioni a valori vettoriali e non scalari (e questo credo sia il punto che ti ha creato confusione).[/nota]:
$$ f = \sum c_{\alpha \lambda} \phi_{\alpha \lambda}$$
Ovviamente, quando vai a calcolare la soluzione in un particolare $t$ ottieni: $$ f(t) = \sum c_{\alpha \lambda} \phi_{\alpha \lambda}(t)$$
Il punto della questione è che la base dello spazio di soluzioni è formata da funzioni e non da vettori numerici. Poi che queste funzioni siano a valori in $\mathbb{R}^n$ è un altro discorso. Ma sono due spazi vettoriali diversi: uno è lo spazio delle soluzioni e l'altro è lo spazio dei vettori numerici $\mathbb{R}^n$ che è semplicemente dove prendono i valori quelle funzioni (motivo per cui per t fissato, puoi scriverle come una n-upla).
Spero sia chiara la differenza.
Perfetto.
Quindi il concetto principale è che $ X(t) $ non è un vettore di $ R^2$, ma un vettore con come componenti funzioni.
Grazie ancora!
Quindi il concetto principale è che $ X(t) $ non è un vettore di $ R^2$, ma un vettore con come componenti funzioni.
Grazie ancora!
$x(t)$ è un vettore in $\mathbb {R}^n$ quando la funzione è calcolata il un valore specifico perché la funzione ha immagine in $\mathbb{R}^n$. Ma la funzione $x(\cdot)$, vista nella sua globalità è un vettore appartenente a un altro spazio: quello delle soluzioni, la cui base è data dalle funzioni dette sopra. Secondo la notazione di prima, le coordinate di tale funzione sarebbero i coefficienti $c_{\alpha \lambda}$ (potresti anche identificarlo col vettore che ha come componenti tali coefficienti, ma non si usa farlo. Si scrive invece tutta la somma, per esplicitare di quali funzioni la $x$ è combinazione, cioè gli esponenziali).
Grazie 90000!
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