Calcolo delle componenti connesse

[pippo14]

Ciao,

non riesco a capire come calcolare le componenti connesse di questo insieme
Sia $C_j ⊆ R$ il cerchio di centro $(1/j, 0)$ e raggio $1/j^2$ con j = 1, 2, 3, e si
definisca:
$U := R^2 \setminus {C_1∪C_2∪C_3}$


$V := R^2\setminus {C_1∪C_2∪C_3∪[0,1]}
$

In particolare non mi è chiaro come calcolare le componenti connesse di due insieme la cui intersezione non è nulla.
(Inoltre, con cerchio intento sia la circonferenza che il suo interno giusto?)

[apatriarca]

Se i \(C_j\) comprendessero anche l'interno il problema sarebbe abbastanza banale in quanto ci sarebbe una sola componente connessa. Suppongo quindi che il problema riguardi solo la circonferenza e non anche il disco interno. Non è chiarissimo neanche il significato di \([0,1].\) Suppongo sia semplicemente il segmento \([0,1] \times \{0\}.\)

[pippo14]

se fosse solo la circonferenza, in ogni caso come dovrei contare le componenti connesse?

[apatriarca]

Ogni circonferenza divide tutte le componenti connesse che interseca in due componenti connesse.. Nel primo caso partirei quindi dall'insieme di partenza e considerare una circonferenza per volta. La prima circonferenza è di centro 1 (considero solo la x che tanto l'altra è fissa) e raggio 1. Divide ovviamente lo spazio in due componenti connesse. La seconda è di centro 1/2 e raggio 1/4. La circonferenza è completamente contenuta nella prima per cui divide la componente connessa interna alla prima circonferenza in due ottenendo 3 componenti connesse. La terza circonferenza ha centro 1/3 e raggio 1/9. Se non sbaglio interseca la seconda circonferenza in due punti per cui suddivide ognuno dei due spazi interni alla prima circonferenza in due, arrivando quindi a 5 componenti connesse.

Il segmento divide quasi tutti gli spazi interni (tutti tranne quello più esterno) alla prima circonferenza in due per cui si ottengono 8 componenti connesse se non sbaglio. Ho fatto tutto questo a mente ma un disegno è MOLTO utile in questi casi.