Delucidazione nozione teorica di Algebra Lineare
Buongiorno a tutti,
mi stavo esercitando con le matrici del di cambiamento di base con base canonica...fin qui nessun problema, mi sono accorto però che la professoressa ci ha fatto scrivere che la matrice diciamo "immediata"(quella alla quale basta scrivere per colonna i vettori della base B) indicata con M c->b, su dispense trovate su internet dice il viceversa cioè la matrice M b->c è la matrice avente per colonne le coordinate dei vettori di B... Ora, non riesco a capire se ho torto io o quello che c'è scritto nelle dispense è errato...Grazie a tutti per la risposta, spero di essere stato chiaro
mi stavo esercitando con le matrici del di cambiamento di base con base canonica...fin qui nessun problema, mi sono accorto però che la professoressa ci ha fatto scrivere che la matrice diciamo "immediata"(quella alla quale basta scrivere per colonna i vettori della base B) indicata con M c->b, su dispense trovate su internet dice il viceversa cioè la matrice M b->c è la matrice avente per colonne le coordinate dei vettori di B... Ora, non riesco a capire se ho torto io o quello che c'è scritto nelle dispense è errato...Grazie a tutti per la risposta, spero di essere stato chiaro
Risposte
Il tuo probabilmente è un errore nella trascrittura degli appunti 
Se abbiamo due basi di uno spazio vettoriale finitamente generato, chiamiamole $B$ e $B'$, la matrice che esprime il cambiamento di base $BrightarrowB'$ si ottiene esprimento di vettori di $B$ come combinazione lineare dei vettori della base $B'$
Nel nostro caso, la base $B'$ è la base canonica $C$.
Poniamo $B={v_1,...,v_n}$ e $C={e_1,...,e_n}$.
Esprimiamo come detto prima i vettori della base $B$ come combinazione lineare dei vettori della base $B'$:
$ v_1 = x((1),(.),(.),(.),(0)) + y((0),(1),(.),(.),(0))+ ...+z((0),(.),(.),(.),(1)) $ , risolvendo tale sistema appare evidente che ritroviamo proprio il vettore $v_1$
$ldots$
$ v_n = x((1),(.),(.),(.),(0)) + y((0),(1),(.),(.),(0))+ ...+z((0),(.),(.),(.),(1)) $
Quindi la matrice di passaggio dalla base $B$ alla base canonica $C$ $M_{BrightarrowC}$ ottenuta disponendo per colonne le componenti, coincide con la matrice avente per colonne i vettori della base $B$.
Con lo stesso procedimento, si dimostra che la matrice che effettua il passaggio inverso è $M_{CrightarrowB} = M_{BrightarrowC}^-1$
A scanso di equivoci, facciamo un esempio pratico:
Data la base di $RR^3 B:={[2,1,0]^T,[0,1,2]^T,[0,0,3]^t}$.
Scrivere la matrice $M_{Brightarrow C}$ di passaggio dalla base $B$ alla base canonica $C$ e la matrice $M_{Crightarrow B}$ di passaggio dalla base canonica alla base $B$.
SOL.:
[sappiamo che basta disporli per colonna, ma facciamo per scrupolo tutti i passaggi]
$ ((2),(1),(0))= x((1),(0),(0)) +y((0),(1),(0))+z((0),(0),(1)) $ da cui ricaviamo banalmente $x=2,y=1,z=0$
$ ((0),(1),(2))= x((1),(0),(0)) +y((0),(1),(0))+z((0),(0),(1)) $ $ldots rightarrow x=0,y=1,z=2$
$ldots$ idem per il terzo vettore.
La matrice così ottenuta è $ M_(BrightarrowC)= [ ( 2 , 0 , 0 ),( 1,1,0 ),( 0,2,3 ) ] $ .
Da cui sappiamo automaticamente che $M_{C rightarrowB}= [ ( 2 , 0 , 0 ),( 1,1,0 ),( 0,2,3 ) ] ^-1 $
Se abbiamo due basi di uno spazio vettoriale finitamente generato, chiamiamole $B$ e $B'$, la matrice che esprime il cambiamento di base $BrightarrowB'$ si ottiene esprimento di vettori di $B$ come combinazione lineare dei vettori della base $B'$
Nel nostro caso, la base $B'$ è la base canonica $C$.
Poniamo $B={v_1,...,v_n}$ e $C={e_1,...,e_n}$.
Esprimiamo come detto prima i vettori della base $B$ come combinazione lineare dei vettori della base $B'$:
$ v_1 = x((1),(.),(.),(.),(0)) + y((0),(1),(.),(.),(0))+ ...+z((0),(.),(.),(.),(1)) $ , risolvendo tale sistema appare evidente che ritroviamo proprio il vettore $v_1$
$ldots$
$ v_n = x((1),(.),(.),(.),(0)) + y((0),(1),(.),(.),(0))+ ...+z((0),(.),(.),(.),(1)) $
Quindi la matrice di passaggio dalla base $B$ alla base canonica $C$ $M_{BrightarrowC}$ ottenuta disponendo per colonne le componenti, coincide con la matrice avente per colonne i vettori della base $B$.
Con lo stesso procedimento, si dimostra che la matrice che effettua il passaggio inverso è $M_{CrightarrowB} = M_{BrightarrowC}^-1$
A scanso di equivoci, facciamo un esempio pratico:
Data la base di $RR^3 B:={[2,1,0]^T,[0,1,2]^T,[0,0,3]^t}$.
Scrivere la matrice $M_{Brightarrow C}$ di passaggio dalla base $B$ alla base canonica $C$ e la matrice $M_{Crightarrow B}$ di passaggio dalla base canonica alla base $B$.
SOL.:
[sappiamo che basta disporli per colonna, ma facciamo per scrupolo tutti i passaggi]
$ ((2),(1),(0))= x((1),(0),(0)) +y((0),(1),(0))+z((0),(0),(1)) $ da cui ricaviamo banalmente $x=2,y=1,z=0$
$ ((0),(1),(2))= x((1),(0),(0)) +y((0),(1),(0))+z((0),(0),(1)) $ $ldots rightarrow x=0,y=1,z=2$
$ldots$ idem per il terzo vettore.
La matrice così ottenuta è $ M_(BrightarrowC)= [ ( 2 , 0 , 0 ),( 1,1,0 ),( 0,2,3 ) ] $ .
Da cui sappiamo automaticamente che $M_{C rightarrowB}= [ ( 2 , 0 , 0 ),( 1,1,0 ),( 0,2,3 ) ] ^-1 $
Perfetto, ho capito grazie mille gentilissimo
Di nulla. Ad ogni modo, in questa sezione del forum potrai trovare molti esercizi già svolti e un pdf "for dummies"
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