Base i somma ed intersezione
ho le seguenti richieste:
sia $ W= RR_(<=3)[X] $ (polinomi di grado al più due) e si considerino i seguenti suoi sottospazi
$ S={p(x)inW : p(1)=p(-1) } $ e $ T= $ .
i) Determinare una base e la dimensione dell'intersezione dei due sottospazi.
ii) Definire un'applicazione lineare $f: W ->W $ tale che $Im f=S $
per il primo punto ho imposto la condizione p(1)=p(-1) che mi ha permesso di trovare $ a_3=-a_1 $ per cui svolgendo i calcoli ho trovato che un polinomio di S è della forma $ a_o + a_1(x-x^3)+a_2x^2 $ . A questo punto ho considerato l'isomorfismo con $RR^4$ e dedotto che S è generato da $ [( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) ] $ e trovato che i tre vettori sono linearmente indipendenti (formano di conseguenza un base per S). allo stesso modo trovo una base di T data per esempio dai vettori (-1,0,0,0), (0,0,1,0) e (0,1,-1,0). a questo punto ho pensato di considerare l'unione delle due basi e calcolare una per la somma (e dedurre poi le dimensioni non sarebbe un problema: conoscendo una base tra somma o intersezione applico poi Grassmann).
premettendo che già così non so se sto facendo in modo corretto, qui mi areno. non so come continuare e trovare la base dell'intersezione e nemmeno come riuscire a ricavare una base della somma.
peggio ancora il secondo punto dove proprio non so che approccio utilizzare.
grazie a tutti quelli che avranno la pazienza di rispondermi!
sia $ W= RR_(<=3)[X] $ (polinomi di grado al più due) e si considerino i seguenti suoi sottospazi
$ S={p(x)inW : p(1)=p(-1) } $ e $ T=
i) Determinare una base e la dimensione dell'intersezione dei due sottospazi.
ii) Definire un'applicazione lineare $f: W ->W $ tale che $Im f=S $
per il primo punto ho imposto la condizione p(1)=p(-1) che mi ha permesso di trovare $ a_3=-a_1 $ per cui svolgendo i calcoli ho trovato che un polinomio di S è della forma $ a_o + a_1(x-x^3)+a_2x^2 $ . A questo punto ho considerato l'isomorfismo con $RR^4$ e dedotto che S è generato da $ [( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) ] $ e trovato che i tre vettori sono linearmente indipendenti (formano di conseguenza un base per S). allo stesso modo trovo una base di T data per esempio dai vettori (-1,0,0,0), (0,0,1,0) e (0,1,-1,0). a questo punto ho pensato di considerare l'unione delle due basi e calcolare una per la somma (e dedurre poi le dimensioni non sarebbe un problema: conoscendo una base tra somma o intersezione applico poi Grassmann).
premettendo che già così non so se sto facendo in modo corretto, qui mi areno. non so come continuare e trovare la base dell'intersezione e nemmeno come riuscire a ricavare una base della somma.
peggio ancora il secondo punto dove proprio non so che approccio utilizzare.
grazie a tutti quelli che avranno la pazienza di rispondermi!
Risposte
La base di $S$ che hai trovato è corretta.
Grassmann però, come dici, richiede che tu conosca anche la dimensione della somma. Quindi vorresti calcolare la somma, così da sapere poi la dimensione dell'intersezione. Questo potrebbe andare bene nel caso ti venisse chiesto solo la dimensione dell'intersezione.
Ti viene chiesta una base, pertanto quello che dici è inconcludente.
Ragioniamo sul significato dell'intersezione tra due $K$ sottospazi vettoriali, che chiamiamo $U,V$
Sia $w in U cap V $, allora necessariamente si ha che $w in U $ e contemporaneamente $w in V$.
Ma cosa significa $w in U $?
Essenzialmente, che $w$ può essere espresso come combinazione lineare degli elementi di una base di U.
Analogamente per quel che riguarda $w in V$.
Quindi, se $w in S cap T$, devono esistere dei coefficienti tali che $ a((1),(0),(0),(0)) + b((0),(0),(1),(0))+c((0),(1),(0),(-1)) = d((-1),(0),(0),(0)) +e((0),(0),(1),(0))+f((0),(1),(-1),(0))$
Una volta determinati $a,b,c$ (o equivalentemente $d,e,f$), basta sostituirli nella generica combinazione lineare di S (rispetttivamente $T$) per ottenere una base dell'intersezione.
Ad ogni modo, il forum è pieno di basi per l'intersezione: ti invito a cercare e troverai molti spunti
Grassmann però, come dici, richiede che tu conosca anche la dimensione della somma. Quindi vorresti calcolare la somma, così da sapere poi la dimensione dell'intersezione. Questo potrebbe andare bene nel caso ti venisse chiesto solo la dimensione dell'intersezione.
Ti viene chiesta una base, pertanto quello che dici è inconcludente.
Ragioniamo sul significato dell'intersezione tra due $K$ sottospazi vettoriali, che chiamiamo $U,V$
Sia $w in U cap V $, allora necessariamente si ha che $w in U $ e contemporaneamente $w in V$.
Ma cosa significa $w in U $?
Essenzialmente, che $w$ può essere espresso come combinazione lineare degli elementi di una base di U.
Analogamente per quel che riguarda $w in V$.
Quindi, se $w in S cap T$, devono esistere dei coefficienti tali che $ a((1),(0),(0),(0)) + b((0),(0),(1),(0))+c((0),(1),(0),(-1)) = d((-1),(0),(0),(0)) +e((0),(0),(1),(0))+f((0),(1),(-1),(0))$
Una volta determinati $a,b,c$ (o equivalentemente $d,e,f$), basta sostituirli nella generica combinazione lineare di S (rispetttivamente $T$) per ottenere una base dell'intersezione.
Ad ogni modo, il forum è pieno di basi per l'intersezione: ti invito a cercare e troverai molti spunti
Grazie 
"cooper":
$ W= RR_(<=3)[X] $ (polinomi di grado [strike]al più due[/strike])
Al più 3.
Tanto per completezza, ti lascio in spoiler la soluzione:
grazie ancora!
Di nulla
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo