Determinare un vettore ortogonale a uno dato

[Froz3n]

Ciao a tutti avrei un problema che non riesco a risolvere, dati $x=(1,-1,k) , y=(1,0,-1)$ devo trovarmi
1-i vettori ortogonali ad $x$ e $y$,
2- i vettori ortogonali a entrambi $x ,y$
3- per quali valori del parametro $k$ i vettori $x$ e $y$ sono ortogonali.
Ma non so proprio come fare.. So che due vettori sono ortogonali quando il loro prodotto scalare è nullo cioè $ =0$
1-Quindi dato $x=(1,-1,k)$ dovrei trovarmi un altro vettore $v=(a,b,c)$ che il prodotto scalare tra i due vettori mi risulti:
$a-b+kc=0 ??$
Se ad esempio assegno ad $a=3$ e $b=1$ risolvo l'equazione e mi ricavo il valore di $kc$ che è $-2$
Quindi facendo $<(1,-1,k),(3,1,-2)> =3-1-2k=0$ faccio bene o sto facendo una grande cavolata? Non so come procedere..qualcuno può aiutarmi?

[Magma1]

"Froz3n":dati $ x=(1,-1,k) , y=(1,0,-1) $ devo trovarmi
1-i vettori ortogonali ad $ x $ e $ y $,

Poiché vettori $x,y in RR^3$, si ha che $dim({x}^(_|_) )=dim({y}^(_|_) )=2$

Procediamo a trovare i vettori ortogonali ad $x$

$ x=(1,-1,k); v=(a,b,c) rArr = a-b+kc=0 $

$hArr a=b-kc hArr a=((b-kc),(b),(c))=b((1),(1),(0))+c((-k),(0),(1))$

Quindi ${x}^(_|_) ={((1),(1),(0)),((-k),(0),(1))}$

Procedimento analogo anche per ${y}^(_|_)$

"Froz3n": dati $ x=(1,-1,k) , y=(1,0,-1) $ devo trovarmi

2- i vettori ortogonali a entrambi $ x ,y $

Bisogna trovare un vettore ortogonale sia a $x$ che a $y$, cioè occorre che sia rispettata l'ortogonalità di entrambi i vettori:

${ ( a-b+kc=0),( a-c=0 ):} hArr { ( b=a+kc=c(k+1)),( a=c ):} $

$hArr b=c((1),(k+1),(1))$ quindi ${x,y}^(_|_)={((1),(k+1),(1))}$

"Froz3n": dati $ x=(1,-1,k) , y=(1,0,-1) $ devo trovarmi

3- per quali valori del parametro $ k $ i vettori $ x $ e $ y $ sono ortogonali.

Il punto tre dovrebbe essere chiaro ora

[Froz3n]

Grazie mille per la dimostrazione. Quindi se ho capito bene:
$y=(1,0,-1)$ $v=(a,b,c) \Rightarrow a-c=0$
$a=c \Leftrightarrow a=((c),(0),(c)) = c((1),(0),(1))$
$\Rightarrow v=(1,0,1) =1-1=0$ Oppure in generale tutti i vettori nella forma $(a,0,a)$ sono ortogonali a $y$
Giusto?
Per quanto riguarda il punto 3 non riesco a capire come risolvere..
$\{(a-b+kc=0),(a-c=0):} \Leftrightarrow \{(k=(-a+b)/c),(a=c):} \Leftrightarrow k=a((-1),(0),(0))+b((0),(1),(0))$
Quindi i valori di k possono essere -1 e 1? Ma il prodotto scalare viene 0 solo se $k=1$ quindi $x \bot y$
Ho sbagliato qualcosa? Oppure ho combinato un casino che non si è mai visto prima?

[Magma1]

"Froz3n":
Quindi se ho capito bene:

$y=(1,0,-1);$ $v=(a,b,c)$ $ \Rightarrow = a-c=0$

$hArr a=c \Leftrightarrow a=((c),(0),(c)) = c((1),(0),(1))$

$\Rightarrow v=(1,0,1)$ :$ =1-1=0$

Oppure in generale tutti i vettori nella forma $(a,0,a)$ sono ortogonali a $y$

Nello svolgimento dell'esercizio si è fatto uso del concetto di sistema lineare:

In generale - e anche sinteticamente - un sistema lineare omogeneo è del tipo $AX=O$,[nota]dove $A$ è la matrice dei coefficienti di ordine $nxxn$, $X$ è la matrice colonna $nxx1$ delle incognite e $O$ è la matrice colonna $nxx1$ dei termini noti che in questo caso sono tutti nulli.[/nota]
$X'$ è soluzione del sistema se si ha $AX'=O$.
Il numero di incognite dipendenti coincide con il rango della matrice dei coefficienti $A$,[nota]Il rango è definito come il numero di righe non nulle.[/nota]
Il numero delle incognite libere (o dette anche indipendenti) è dato dalla sottrazione tra il numero di incognite [nota]Che coincide con il numero delle colonne[/nota] e il rango di $A$, cioè $n-r(A)$.

Se $r(A)=n$, il sistema ha un'unica soluzione [nota]Si dimostra che ogni multiplo di $X'$ è soluzione del sistema$[/nota]
Se $r(A) )[/nota]

In questo caso si tratta di un sistema di una equazione e due incognite:
$1$ riga non nulla, $2$ incognite $rArr$ si hanno $oo^1$ soluzioni.

$(1,0,-1)((a),(b),(c))=((0),(0),(0)) hArr a-c=0 hArr a=c \Leftrightarrow a=((c),(0),(c)) = c((1),(0),(1)), AA c in RR$

Quindi ogni multiplo di $((1),(0),(1))$ è soluzione del sistema, e quindi ogni suo multiplo è ortogonale al vettore $y$.

Analogamente, per il secondo punto si ha:

$( (1 ,-1 , k ),(1, 0 , -1 ) ) ((a),(b),(c))=((0),(0),(0)) $

le incognite sono le componenti del vettore delle incognite, cioè $a,b,c$.
La matrice dei coefficienti è già ridotta a scalini[nota]Algoritmo di Gauss-Jordan[/nota], e le nostre incognite dipendenti (pivot[nota]È un elemento non nullo su una riga che al di sotto ha solo zeri oppure è l'ultimo elemento non nullo sull'ultima riga[/nota]) sono $a,b$;
$k in RR$ è un parametro - tra l'altro non può essere un pivot - quindi sarà la nostra incognita libera/indipendente:

$hArr { ( a-b+kc=0),( a-c=0 ):} hArr { ( b=a+kc),( a=c ):} hArr { ( b=c(k+1)),( a=c ):} rArr c((1),(k+1),(1)) $

[Froz3n]

Innanzitutto grazie per la risposta dettagliata e completa, mi hai reso le idee più chiare
C'è una cosa che però non capisco

$hArr { ( a-b+kc=0),( a-c=0 ):} hArr { ( b=a+kc),( a=c ):} hArr { ( b=c(k+1)),( a=c ):} rArr c((1),(k+1),(1)) $

Io mi devo determinare per quali valori del parametro reale $k$ i vettori $x,y$ sono ortogonali. Cosa devo fare con questo sistema per trovarmi il valore di k?
Io avevo pensato che se $ =1-k \Rightarrow k=1$ è giusta come cosa?

[Magma1]

Ah... scusami, ho confuso gli esercizi, quindi considera quella parte della risposta come riferita al secondo punto!

"Froz3n":
C'è una cosa che però non capisco:
Io mi devo determinare per quali valori del parametro reale $k$ i vettori $x,y$ sono ortogonali.
Cosa devo fare con questo sistema per trovarmi il valore di k?
Io avevo pensato che se $ =1-k \Rightarrow k=1$ è giusta come cosa?

Esattamente ; infatti

dati $ x=(1,-1,k) , y=(1,0,-1) $

Allora $ = (1,-1,k) ((1),(0),(-1)) = 1-k=0 hArr k=1$

Perché precedentemente avevi considerato un sistema di due equazioni?
Per questo ho pensato che ti riferissi al punto due dell'esercizio.

"Froz3n":
Per quanto riguarda il punto 3 non riesco a capire come risolvere..
$ \{(a-b+kc=0),(a-c=0):} \Leftrightarrow \{(k=(-a+b)/c),(a=c):} \Leftrightarrow k=a((-1),(0),(0))+b((0),(1),(0)) $
Quindi i valori di k possono essere -1 e 1? Ma il prodotto scalare viene 0 solo se $ k=1 $ quindi $ x \bot y $
Ho sbagliato qualcosa? Oppure ho combinato un casino che non si è mai visto prima?

[Froz3n]

Perfetto grazie mille per le risposte.