Combinazione lineare di vettori
Dati i seguenti vettori A=(4,1,2), B=(7, -8, 0), C=(4, 1, 3) determinare
un nuovo vettore D che risulti combinazione lineare dei tre vettori dati.
un nuovo vettore D che risulti combinazione lineare dei tre vettori dati.
Risposte
dovresti postare una bozza di soluzione, comunque dato che è il primo post.... 
una combinazione lineare detto in poche parole consiste nel moltiplicare i vettori per una certa costante e poi sommarli tra loro. formalmente si scrive come $ a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n $ dove le a sono degli scalari (appartengono cioè al campo K) mentre le v sono dei vettori. nel tuo esempio una combinazione lineare è:
$ D=alphaA+betaB+gammaC $ dove A,B,C sono i tuoi tre vettori e $ alpha,beta,gamma in RR $ sono numeri qualsiasi
una combinazione lineare detto in poche parole consiste nel moltiplicare i vettori per una certa costante e poi sommarli tra loro. formalmente si scrive come $ a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n $ dove le a sono degli scalari (appartengono cioè al campo K) mentre le v sono dei vettori. nel tuo esempio una combinazione lineare è:
$ D=alphaA+betaB+gammaC $ dove A,B,C sono i tuoi tre vettori e $ alpha,beta,gamma in RR $ sono numeri qualsiasi
Su questi concetti di base ci siamo. Il problema e come faccio a trovare il nuovo vettore D che sia linearmente dipendente da A,B e C ? Per definizione il vettore è una n-pla di numeri (x1,x2,...,xn). La soluzione penso dovrebbe partire nel trovare γ1, γ2 e γ3, a sistema... Ma le coordinate del nuovo vettore come faccio a trovarle in maniera analitica ?
La definizione di vettore combinazione lineare di altri vettori è quella scritta da cooper:
Questo significa che per qualsiasi valore dei tre scalari $alpha, beta, gamma$ tu scelga, il vettore risultante sarà combinazioone lineare dei precedenti!
Puoi scegliere $(1,0,1)$, $(0,0,1)$ oppure $(2015,2016,2017)$; dipende da quanta voglia tu abbia nel fare dei calcoli
$alphaA+betaB+gammaC=D$, $AA alpha,beta,gamma in RR $
Questo significa che per qualsiasi valore dei tre scalari $alpha, beta, gamma$ tu scelga, il vettore risultante sarà combinazioone lineare dei precedenti!
Puoi scegliere $(1,0,1)$, $(0,0,1)$ oppure $(2015,2016,2017)$; dipende da quanta voglia tu abbia nel fare dei calcoli
"Magma":
La definizione di vettore combinazione lineare di altri vettori è quella scritta da cooper:
$ alphaA+betaB+gammaC=D $, $ AA alpha,beta,gamma in RR $
Questo significa che per qualsiasi valore dei tre scalari $ alpha, beta, gamma $ tu scelga, il vettore risultante sarà combinazioone lineare dei precedenti!
Puoi scegliere $ (1,0,1) $, $ (0,0,1) $ oppure $ (2015,2016,2017) $; dipende da quanta voglia tu abbia nel fare dei calcoli
esattamente
Allora come leggete dalla traccia presa in considerazione, i 3 vettori A,B,C, sono già noti, il problema sussiste nel calcolo del vettore D... so come impostare la relazione per vedere la lineare dipendenza tra n vettori. Si mette a sistema e si trovano i corrispettivi γ... fin qui è tutto ok. Ma il D visto che è ignoto è possibile che abbia come coordinate al suo interno coordinate ignote ? Penso possa essere espresso come D= (x,y,z), di cui x, y e z, saranno le mie incognite con i corrispettivi scalari, per definizione di lineare dipendenza: γ1A(4,1,2)+γ2B(7,-8,0)+γ2C(4,1,3)=D(x,y,z).
la traccia ti chiede un qualunque D combinazione lineare. per cui dalle relazioni che ti ho scritto scegli 3 valori dei parametri come più ti aggradano e poi svolgi i relativi calcoli (prodotti e somme). ti faccio vedere:
$D=alphaA+betaB+gammaC=e^pi ( ( 4 ),( 1 ),( 2 ) ) +e^(pi^pi) ( ( 7 ),( -8 ),( 0 ) )+1( ( 4 ),( 1 ),( 3 ) )=( ( 4e^pi ),( e^pi ),( 2e^pi ) ) +( ( 7e^(pi^pi) ),( -8e^(pi^pi) ),( 0 ) )+( ( 4 ),( 1 ),( 3 ) )=( ( 4e^pi+ 7e^(pi^pi)+4 ),( e^pi -8e^(pi^pi)+1 ),( 2e^pi +3 ) )$
il vettore che abbiamo scritto è combinazione lineare dei tuoi tre vettori e senza risolvere alcun sistema. Per risolvere ho considerato $ alpha=e^pi;beta=e^(pi^pi);gamma=1 $
ti consiglio di ripassare la definizione di combinazione lineare (che si traduce poi in DIPENDENZA lineare).
$D=alphaA+betaB+gammaC=e^pi ( ( 4 ),( 1 ),( 2 ) ) +e^(pi^pi) ( ( 7 ),( -8 ),( 0 ) )+1( ( 4 ),( 1 ),( 3 ) )=( ( 4e^pi ),( e^pi ),( 2e^pi ) ) +( ( 7e^(pi^pi) ),( -8e^(pi^pi) ),( 0 ) )+( ( 4 ),( 1 ),( 3 ) )=( ( 4e^pi+ 7e^(pi^pi)+4 ),( e^pi -8e^(pi^pi)+1 ),( 2e^pi +3 ) )$
il vettore che abbiamo scritto è combinazione lineare dei tuoi tre vettori e senza risolvere alcun sistema. Per risolvere ho considerato $ alpha=e^pi;beta=e^(pi^pi);gamma=1 $
"airfradi43":
Su questi concetti di base ci siamo.
ti consiglio di ripassare la definizione di combinazione lineare (che si traduce poi in DIPENDENZA lineare).
Non capisco quale sia il problema.
Hai tre vettori noti, e ti si chiede di esprimere un vettore $D$ qualsiasi che sia combinazione lineare degli altri.
Basta fare variare i coefficienti:
ti consiglio di ripassare la definizione di combinazione lineare (che si traduce poi in DIPENDENZA lineare).[/quote]
Secondo me il problema è di comprensione del testo!
Hai tre vettori noti, e ti si chiede di esprimere un vettore $D$ qualsiasi che sia combinazione lineare degli altri.
$D$ è combinazione lineare di $A,B,C hArr D=alphaA+betaB+gamma C$
Basta fare variare i coefficienti:
se si considera $alpha=beta=gamma$ si ha $D=((0),(0),(0))$
per $alpha=1, beta=0, gamma=0$, si ha $D=((4),(1),(2))=A$
per $alpha=1, beta=0, gamma=0$, si ha $D=((4),(1),(2))=A$
"cooper":
[quote="airfradi43"]Su questi concetti di base ci siamo.
ti consiglio di ripassare la definizione di combinazione lineare (che si traduce poi in DIPENDENZA lineare).[/quote]
Secondo me il problema è di comprensione del testo!
"Magma":
Secondo me il problema è di comprensione del testo!
può darsi, spero adesso sia più chiaro e che abbia sciolto i dubbi.
uno solo?
[size=85]$(4,1,2)+(7,-8,0)+(4,1,3)=(4+4+7,1-7+1,2+0+3)=(15,-5,5)$[/size]
$(15,-5,5)$ è ottenuto dalla combinazione lineare dei tuoi vettori con scalari tutti unitari
o se preferisci anche $(0,0,0)$
Se in realtà ti serve un qualunque vettore dato da quei tre basta vedere cosa generano.
$ A=( ( 4 , 7 , 4 ),( 1 , -8 , 1 ),( 2 , 0 , 3 ) ) $
puoi facilmente vedere che il $rank(A)=3$
Quindi formano una base per $RR^3$ e quindi generano un qualsiasi vettore del tipo $(x,y,z)$
Se ancora non ti convince poni
$a(4,1,2)+b(7,-8,0)+c(4,1,3)=(x,y,z)$
Oppure se ti trovi meglio(che poi è la stessa cosa)
$( ( 4 , 7 , 4 ),( 1 , -8 , 1 ),( 2 , 0 , 3 ) )( ( a ),( b ),( c ) ) = ( ( x ),( y),( z) )$
E risolvi il sistema
${(4a+7b+4c=x),(a-8b+c=y),(2a+3c=z):}$
Ora non so a che punto sei con i sistemi lineari però se hai fatto rouchè-capelli e cramer
$rank( ( 4 , 7 , 4 ,x ),( 1 , -8 , 1 ,y),( 2 , 0 , 3,z ))leq3$
E siccome già abbiamo visto che la sotto matrice $A$ ha rango $3$ allora il sistema è compatibile e ha $infty^(n-r)=1$ soluzione.
È chiaro che si ha una soluzione determinata per ogni valore di $x,y,z$ già questo la dice lunga e dovrebbe bastare per farti dire che genera tutto $RR^3$
Poi sono conti.
In totale accordo con quanto hanno detto gli altri, ho scritto questo mappazzone solo per dirti che una soluzione la trovi in molti modi
[size=85]$(4,1,2)+(7,-8,0)+(4,1,3)=(4+4+7,1-7+1,2+0+3)=(15,-5,5)$[/size]
$(15,-5,5)$ è ottenuto dalla combinazione lineare dei tuoi vettori con scalari tutti unitari
o se preferisci anche $(0,0,0)$
Se in realtà ti serve un qualunque vettore dato da quei tre basta vedere cosa generano.
$ A=( ( 4 , 7 , 4 ),( 1 , -8 , 1 ),( 2 , 0 , 3 ) ) $
puoi facilmente vedere che il $rank(A)=3$
Quindi formano una base per $RR^3$ e quindi generano un qualsiasi vettore del tipo $(x,y,z)$
Se ancora non ti convince poni
$a(4,1,2)+b(7,-8,0)+c(4,1,3)=(x,y,z)$
Oppure se ti trovi meglio(che poi è la stessa cosa)
$( ( 4 , 7 , 4 ),( 1 , -8 , 1 ),( 2 , 0 , 3 ) )( ( a ),( b ),( c ) ) = ( ( x ),( y),( z) )$
E risolvi il sistema
${(4a+7b+4c=x),(a-8b+c=y),(2a+3c=z):}$
Ora non so a che punto sei con i sistemi lineari però se hai fatto rouchè-capelli e cramer
$rank( ( 4 , 7 , 4 ,x ),( 1 , -8 , 1 ,y),( 2 , 0 , 3,z ))leq3$
E siccome già abbiamo visto che la sotto matrice $A$ ha rango $3$ allora il sistema è compatibile e ha $infty^(n-r)=1$ soluzione.
È chiaro che si ha una soluzione determinata per ogni valore di $x,y,z$ già questo la dice lunga e dovrebbe bastare per farti dire che genera tutto $RR^3$
Poi sono conti.
In totale accordo con quanto hanno detto gli altri, ho scritto questo mappazzone solo per dirti che una soluzione la trovi in molti modi
Siete stati davvero chiarissimi, vi ringrazio davvero per la delucidazione ! 
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