[ALGEBRA LINEARE] Sottospazi di matrici
Salve a tutti, la traccia mi chiede di trovare le equazioni dei sottospazi di \(\displaystyle R^{2,2} \) e poi calcolare le dimensioni ed una base di \(\displaystyle U, W, (U+W), (U \) $nn$ \(\displaystyle W) \)
\(\displaystyle U = [ \) $((1,-3),(0,1))$,$((0,1),(0,-1))$ \(\displaystyle ] \)
\(\displaystyle W = [ \) $((1,0),(1,0))$,$((-1,0),(-1,0))$,$((0,1),(0,1))$ \(\displaystyle ] \)
Ho svolto in questo modo:
faccio l'esempio solo del primo sottospazio, lo svolgimento è lo stesso per il secondo ....
\(\displaystyle A= \) $((1,0,x),(-3,1,y),(0,0,z),(1,-1,t))$ che riducendola a gradini avrò:
\(\displaystyle A= \) $((1,0,x),(0,1,y+3x),(0,0,z),(0,0,t+y+2x))$
così l'equazioni cercate sono: \(\displaystyle U = = \) ${$ \(\displaystyle (x,y,z,t) \) $in$ $RR$\(\displaystyle ^2 | z=t+y+2x=0 \) $}$
Ora per quanto riguarda la dimensione di \(\displaystyle U \) so che la matrice \(\displaystyle A \) ha 2 pivot e quindi \(\displaystyle rg(A)=2=dim(U) \) e una base di \(\displaystyle U \) è \(\displaystyle B(U)= \) ${$ \(\displaystyle (1,-3,0,1)^T,(0,1,0,-1)^T \) $}$
E faccio lo stesso procedimento per \(\displaystyle W \) che avrà \(\displaystyle dim(W)=2 \) e una base di \(\displaystyle W \) è \(\displaystyle B(W)= \) ${$ \(\displaystyle (1,0,1,0)^T,(0,1,0,1)^T \) $}$
Ora per calcolare la dimensione e la base di \(\displaystyle (U+W) \) unisco le due basi trovate in una matrice e la riduco a gradini e tramite i pivot e il rango calcolo i loro "valori" e avrò che la \(\displaystyle dim(U+W)=4 \)
Dalla formula di Grassmann so che \(\displaystyle dim(U \) $nn$ \(\displaystyle W) = dim(U) + dim(W) - dim(U+W) = 2 + 2 -4 = 0 \)
ecco questo risultato è giusto?
Grazie mille in anticipo
\(\displaystyle U = [ \) $((1,-3),(0,1))$,$((0,1),(0,-1))$ \(\displaystyle ] \)
\(\displaystyle W = [ \) $((1,0),(1,0))$,$((-1,0),(-1,0))$,$((0,1),(0,1))$ \(\displaystyle ] \)
Ho svolto in questo modo:
faccio l'esempio solo del primo sottospazio, lo svolgimento è lo stesso per il secondo ....
\(\displaystyle A= \) $((1,0,x),(-3,1,y),(0,0,z),(1,-1,t))$ che riducendola a gradini avrò:
\(\displaystyle A= \) $((1,0,x),(0,1,y+3x),(0,0,z),(0,0,t+y+2x))$
così l'equazioni cercate sono: \(\displaystyle U =
Ora per quanto riguarda la dimensione di \(\displaystyle U \) so che la matrice \(\displaystyle A \) ha 2 pivot e quindi \(\displaystyle rg(A)=2=dim(U) \) e una base di \(\displaystyle U \) è \(\displaystyle B(U)= \) ${$ \(\displaystyle (1,-3,0,1)^T,(0,1,0,-1)^T \) $}$
E faccio lo stesso procedimento per \(\displaystyle W \) che avrà \(\displaystyle dim(W)=2 \) e una base di \(\displaystyle W \) è \(\displaystyle B(W)= \) ${$ \(\displaystyle (1,0,1,0)^T,(0,1,0,1)^T \) $}$
Ora per calcolare la dimensione e la base di \(\displaystyle (U+W) \) unisco le due basi trovate in una matrice e la riduco a gradini e tramite i pivot e il rango calcolo i loro "valori" e avrò che la \(\displaystyle dim(U+W)=4 \)
Dalla formula di Grassmann so che \(\displaystyle dim(U \) $nn$ \(\displaystyle W) = dim(U) + dim(W) - dim(U+W) = 2 + 2 -4 = 0 \)
ecco questo risultato è giusto?
Grazie mille in anticipo
Risposte
mi sembra tutto corretto. solo una precisazione. quando hai fornito la base per U e W hai usato dei vettori. per farlo (cosa assolutamente lecita) è bene che dici che isomorfismo hai utilizzato. 
scusa cooper non riesco a capire a capire cosa dovrei fare. Mi faresti qualche esempio?
se interpreto bene la scrittura $RR^(2,2)$ rappresenta le matrici a valori reali di tagli 2x2. lo spazio in cui stiamo lavorando perciò e uno spazio di matrici. ciononostante quando hai fornito le basi di W e U (definiti come sistema di generatori formate da matrici) hai detto che sono formate dai vettori $ (1,0,1,0)^T,(0,1,0,1)^T$ e $(1,-3,0,1)^T,(0,1,0,-1)^T $ rispettivamente. perchè hai usato i vettori e non le matrici? noi siamo nello spazio vettoriale $RR^(2,2)$, sarebbe corretto usare le matrici e non i vettori (anzi direi che comunque devi riportarli in matrici).
il ragionamento con i vettori che hai usato per semplificare i conti è stato quello di usare l'isomorfismo standard che esiste tra spazi di matrici e $RR$, ovvero: $ M_n(RR)~= RR^(n*n)=RR^(n^2) $ ch e alla matrice $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ associa il vettore $ (a,b,c,d)^T $ .
una volta trovate le basi di vettori ti riconduci nuovamente alle matrici.
il ragionamento con i vettori che hai usato per semplificare i conti è stato quello di usare l'isomorfismo standard che esiste tra spazi di matrici e $RR$, ovvero: $ M_n(RR)~= RR^(n*n)=RR^(n^2) $ ch e alla matrice $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ associa il vettore $ (a,b,c,d)^T $ .
una volta trovate le basi di vettori ti riconduci nuovamente alle matrici.
quindi cooper i risultati sono esatti è la forma in cui li ho scritti che è sbagliata? Dovrei riscriverli come matrici 2x2!
esatto
"cooper":
esatto
Grazie mille ancora una volta
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