Equazioni rispetto alle basi canoniche

[lorenzo.ciatti04]

non riesco a risolvere questo esercizio fino in fondo.
Provare che esiste un’unica applicazione lineare F : R3 → R3 con F((1,2,0)) = (−1,5,2),F ((0,1,1)) = (0,2,0), F((0,−1,0)) = (1,−2,−1) e trovarne l’espressione rispetto alla base canonica.
Per quanto riguarda la prima parte dell' esercizio non ci sono problemi,non riesco a svolgere,pero, l'ultimo punto.

[cooper1]

io scriverei la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica e poi la moltiplicherei per il vettore delle incognite$ (x,y,z)^T$

[anto_zoolander]

Una soluzione veloce potrebbe essere data semplicemente dall'essere una applicazione lineare

[size=85]$f(0,0,1)=f(0,1,1)+f(0,-1,0)=(0,2,0)+(1,-2,-1)=(1,0,-1)$

$f(0,1,0)=(-1,2,1)$

$f(1,0,0)=f(1,2,0)-2f(0,1,0)=(-1,5,2)-2(-1,2,1)=(1,1,0)$[/size]

si vede facile che

$f(0,0,z)=(z,0,-z)$
$f(0,y,0)=(-y,2y,y)$
$f(x,0,0)=(x,x,0)$

da cui $f(x,y,z)=(x-y+z,x+2y,y-z)$

Nota che $f$ è un automorfismo dunque per avere l'unicità di questa funzione ti basta porre
$B_(RR^3)={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$