Trovare immagine è nucleo della seguente applicazione lineare
Salve a tutti! Stò esercitandomi con l'eserciziario di Marco Abate-Chiara De Fabritiis(esercizi di geometria) e devo affrontare il seguente problema, ho delle evidenti lacune ma non saprei dove iniziare a colmare, inoltre se possibile vorrei una mano nello svolgimento di questo esercizio. Ringrazio in anticipo quanti vorranno aiutarmi!
L'esercizio è un esercizio guida(con svolgimento), nonostante ciò alcune cose mi sono oscure, in particolar modo la parametrizzazione di incognite, e i casi possibili a cui ci si può ricondurre risolvendo un sistema mediante Gauss;
Ad esempio:
Cosa succede se l'ultima riga e l'ultima colonna si annulla oppure, quanti vettori riga o colonna dobbiamo avere se siamo in R^4.
L'esercizio è il seguente.
Sia T: R^3 ----->R^4 l'applicazione lineare data da
T(x)= |. X2 + X3. |
.........| 2X1 + X2 - X3 |
........ |. X3. |
.........|. 2X1 + 2X2. |
Determinare Nucleo e Immagine di T.
Per il nucleo ho risolto il sistema omogeno associato ed ho trovato che che è costituito del solo vettore nullo. (Ok).
Per l'immagine non so come impostarla.
Riporto la Spiegazione del mio libro:
Dal teorema della dimensione deduciamo quindi dim ImT = 3 ( Ok); ci basta trovare allora un sottospazio di di R^4 di dimensione 3 contenente imT(??).
Un sottospazio di dimensione 3 di R^4 può venire descritto da una singola equazione lineare.
Siccome si verifica subito che x appartenente a imT implica X1+X2 =X4, il sottoinsieme W = { x appartenente a R^4 tale che X1+X2 -X4 =0} ha dimensione 3 e contiene Imt, per cui È = imT.
Sono assalito dai dubbi anche su le cose che credevo certe.
In particolare risolvendo questo esercizio ho pensato :
Devo aggiungere un colonna con tutti zeri essendo un sottoinsieme di R^4, oppure ciò significa che ci sono 4 elementi in una colonna?? Ma le cose cambiano dato che l'immagine deve avere dimensione 3?
Oppure altro dubbio, nell'eliminazione di Gauss mi escono tutti zeri tranne al termine noto!? Che devo fà?
Oppure ancora devo usare Rouche- Capelli e calcolare i valori che mi rendano il rango delle matrice incompleta uguale a quello della matrice completa e u uguale a 3( la dimensione)??!?
Insomma, avrete capito che in testa ho una confusione assurda!! Spero in un vostro aiuto e grazie in anticipo
L'esercizio è un esercizio guida(con svolgimento), nonostante ciò alcune cose mi sono oscure, in particolar modo la parametrizzazione di incognite, e i casi possibili a cui ci si può ricondurre risolvendo un sistema mediante Gauss;
Ad esempio:
Cosa succede se l'ultima riga e l'ultima colonna si annulla oppure, quanti vettori riga o colonna dobbiamo avere se siamo in R^4.
L'esercizio è il seguente.
Sia T: R^3 ----->R^4 l'applicazione lineare data da
T(x)= |. X2 + X3. |
.........| 2X1 + X2 - X3 |
........ |. X3. |
.........|. 2X1 + 2X2. |
Determinare Nucleo e Immagine di T.
Per il nucleo ho risolto il sistema omogeno associato ed ho trovato che che è costituito del solo vettore nullo. (Ok).
Per l'immagine non so come impostarla.
Riporto la Spiegazione del mio libro:
Dal teorema della dimensione deduciamo quindi dim ImT = 3 ( Ok); ci basta trovare allora un sottospazio di di R^4 di dimensione 3 contenente imT(??).
Un sottospazio di dimensione 3 di R^4 può venire descritto da una singola equazione lineare.
Siccome si verifica subito che x appartenente a imT implica X1+X2 =X4, il sottoinsieme W = { x appartenente a R^4 tale che X1+X2 -X4 =0} ha dimensione 3 e contiene Imt, per cui È = imT.
Sono assalito dai dubbi anche su le cose che credevo certe.
In particolare risolvendo questo esercizio ho pensato :
Devo aggiungere un colonna con tutti zeri essendo un sottoinsieme di R^4, oppure ciò significa che ci sono 4 elementi in una colonna?? Ma le cose cambiano dato che l'immagine deve avere dimensione 3?
Oppure altro dubbio, nell'eliminazione di Gauss mi escono tutti zeri tranne al termine noto!? Che devo fà?
Oppure ancora devo usare Rouche- Capelli e calcolare i valori che mi rendano il rango delle matrice incompleta uguale a quello della matrice completa e u uguale a 3( la dimensione)??!?
Insomma, avrete capito che in testa ho una confusione assurda!! Spero in un vostro aiuto e grazie in anticipo
Risposte
Ciao,
ti invito a scrivere le formule in latex, così da renderle più comprensibili
Allora:
-Hai trovato il nucleo di $T$ e questo è il vettore nullo. Quindi la tua applicazione è iniettiva.
-Ora, e sempre, a questo punto dovrai utilizzare il teorema delle dimensioni. Da questo sai che la dimensione dell'immagine è $3$.
A questo punto, l'analisi del tuo libro è corretta. Devi proprio individuare un sottospazio di $R^4$ di dimensione $3$. Equivalentemente, dovrai estrarre dalle colonne della matrice che rappresenta la tua applicazione lineare tre vettori linearmente indipendenti
Questo è immediato. Essi sono proprio le immagine tramite $T$ della base naturale, o canonica $xi$.
La matrice associata è $ [ ( 0 , 1 , 1 ),( 2,1,-1 ),(0,0,1 ),( 2,2,0 ) ] $
e una base dell'immagine è data proprio da questi tre vettori linearmente indipendenti.
ti invito a scrivere le formule in latex, così da renderle più comprensibili
Allora:
-Hai trovato il nucleo di $T$ e questo è il vettore nullo. Quindi la tua applicazione è iniettiva.
-Ora, e sempre, a questo punto dovrai utilizzare il teorema delle dimensioni. Da questo sai che la dimensione dell'immagine è $3$.
A questo punto, l'analisi del tuo libro è corretta. Devi proprio individuare un sottospazio di $R^4$ di dimensione $3$. Equivalentemente, dovrai estrarre dalle colonne della matrice che rappresenta la tua applicazione lineare tre vettori linearmente indipendenti
Questo è immediato. Essi sono proprio le immagine tramite $T$ della base naturale, o canonica $xi$.
La matrice associata è $ [ ( 0 , 1 , 1 ),( 2,1,-1 ),(0,0,1 ),( 2,2,0 ) ] $
e una base dell'immagine è data proprio da questi tre vettori linearmente indipendenti.
Quindi in questo caso non devo imporre che le combinazioni lineare di tali vettori debbano generare un vettore colonna!? Forse mi stò confondendo con la verifica del fatto che siano generatori!?
Faccio fatica a seguirti sinceramente. Una base dell'immagine significa sostanzialmente che ogni vettore immagine tramite $T$ può essere espresso come combinazione lineare si quei tre vettori lì.
Per esempio, se ti chiedessi di dire se il vettore $((2),(2),(1),(4)) in Im(T)$, cosa potresti dire? Basta guardare com'è fatta la base
Per esempio, se ti chiedessi di dire se il vettore $((2),(2),(1),(4)) in Im(T)$, cosa potresti dire? Basta guardare com'è fatta la base
Chiaramente se è una base dell'immagine è un sistema di generatori per qualsiasi vettore colonna che sta in $R^4$, se è questo che intendevi
A livello operativo il suo discorso è impeccabile e chiarissimo. Non riesco a capire questo esercizio sul piano concettuale: perché l'immagine è una base della matrice associata all'applicazione lineare? Prendendo la definizione di immagine; in maniera molto grossolana, potremmo dire che, l'immagine di un'applicazione lineare sono tutti quei vettori che sono "f di qualcosa"! Giusto!?
Forse in questo caso specifico l' applicazione viene data ( tramite la matrice associata all'applicazione ) come quei vettori che sono f di qualche cosa, e quindi ne sono l'immagine??
Ma continuo a non capire una cosa da dove esce l'implicazione X1+X2 =X4??
Forse in questo caso specifico l' applicazione viene data ( tramite la matrice associata all'applicazione ) come quei vettori che sono f di qualche cosa, e quindi ne sono l'immagine??
Ma continuo a non capire una cosa da dove esce l'implicazione X1+X2 =X4??
"nutshell93":
Perché l'immagine è una base della matrice associata all'applicazione lineare?
Alt. La matrice associata all'applicazione lineare (rispetto alla base canonica) è la matrice che ha sulle colonne i vettori dell'immagine.
Ora, tu sai che l'immagine ha dimensione $3$. Ti basta prendere tre vettori immagine linearmente indipendenti e hai ottenuto una base dell'immagine. Questi tre vettori puoi comodamente estrarli dalla matrice. Non è che trovi una base della matrice.
La definizione di immagine non è difficile e non serve ricordarsi definizioni grossolane
ricordati che l'immagine (come il nucleo) sono sottospazi vettoriali.Precisamente data un'applicazione tra spazi vettoriali $f: V rightarrow W$ hai che $Im(f)={f(v) in W:v in V}$.
"nutshell93":
Forse in questo caso specifico l' applicazione viene data ( tramite la matrice associata all'applicazione ) come quei vettori che sono f di qualche cosa, e quindi ne sono l'immagine??
Intendi la definizione di $T$ che ti da il testo?
Tieni a mente che l'immagine qualche volta può avere dimensione minore dello spazio di arrivo, e quindi basta prendere meno vettori ancora... insomma, dipende dall'esercizio.
Se $f$ è iniettiva allora $f$ manda vettori indipendenti in vettori indipendenti.
Dunque se $B={vec(e_1),...,vec(e_n)}$
allora $ =Im(f)$
Puoi dimostrare questa cosa facilmente se non conosci questa proposizione
In più poiché $f$ è iniettiva e manda vettori indipendenti in vettori indipendenti, allora ${f(vec(e_1)),...,f(vec(e_n))}$ sono un sistema di generatori linearmente indipendenti e dunque formano una base.
Se non conosci nemmeno questa proposizione te la spoilero
Dunque se $B={vec(e_1),...,vec(e_n)}$
allora $
Puoi dimostrare questa cosa facilmente se non conosci questa proposizione
In più poiché $f$ è iniettiva e manda vettori indipendenti in vettori indipendenti, allora ${f(vec(e_1)),...,f(vec(e_n))}$ sono un sistema di generatori linearmente indipendenti e dunque formano una base.
Se non conosci nemmeno questa proposizione te la spoilero
Grazie a anto per la precisazione.
Spero sia tutto chiaro. Notte !
Spero sia tutto chiaro. Notte !
@feddy
[ot]figurati, non volevo essere invasivo
[/ot]
[ot]figurati, non volevo essere invasivo
[/ot]
Ma stai scherzando ? Era una precisazione assai coerente con la domanda di @nutshell93
Era una precisazione assai coerente con la domanda di @nutshell93
Ora è tutto chiaro! Purtroppo molte cose sono difficili da trovare sia sul libro che su appunti in classe!! Senza di voi non sarei mai riuscito a comprendere questo esercizio, e l'avrei fissato probabilmente per qualche altra ora 0_0 Grazie per la vostra disponibilità e pazienza!
Scusate ancora se f non fosse stata iniettiva avrei dovuto prendere, sempre quei vettori della matrice associata all'applicazione lineare T(x) e completarli a base di ImgT?
se f non fosse stata iniettiva avrei dovuto prendere, sempre quei vettori della matrice associata all'applicazione lineare T(x) e completarli a base di ImgT?
Se non fosse stata iniettiva, allora il nucleo sarebbe stato non banale. avrebbe avuto in particolare una dimensione maggiore di $0$ e minore di $3$. Per il teorema delle dimensione, allora l'immagine è avrebbe avuto dimensione diversa da $3$ e avresti dovuto estrarre esattamente $3-r$ vettori linearmente indipendenti dalla matrice associata, dove con $r=dim(ker(T))$.
$ker(T)$ sta per nucleo
$ker(T)$ sta per nucleo
Grazie ancora
prego
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