Proiezione ortogonale su un sottospazio
Ciao ragazzi, scrivo per chiedervi aiuto riguardo la proiezione ortogonale su un sottospazio,purtroppo non sono riuscito a trovare nulla sul forum. Non riesco in alcun modo a dimostrare che la proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale U è un'operatore simmetrico ed è tale che il determinante della sua matrice rappresentativa,rispetto una base ortonormale,è sempre pari a 1 o 0.
Grazie a tutti.
Grazie a tutti.
Risposte
Come definisci la proiezione ortogonale?
Sia W un sottospazio vettoriale e $ beta $ una base ortogonale di W, la proiezione di un vettore v sul sottospazio W è uguale ,per definizione, alla somma delle proiezioni ortogonali di v su i vettori della base $ beta $ .
Fissiamo un paio di nomi: diciamo che $W$ è sottospazio di $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ e chiamiamo $P$ la proiezione ortogonale $P:V\to W$.
Questa proprietà: \[ \text{se }v\in V \text{ e } w\in W \text{ allora } \langle v,w\rangle = \langle Pv,w\rangle \] ti è familiare?
Questa proprietà: \[ \text{se }v\in V \text{ e } w\in W \text{ allora } \langle v,w\rangle = \langle Pv,w\rangle \] ti è familiare?
"coffee":
Fissiamo un paio di nomi: diciamo che $W$ è sottospazio di $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ e chiamiamo $P$ la proiezione ortogonale $P:V\to W$.
Questa proprietà: \[ \text{se }v\in V \text{ e } w\in W \text{ allora } \langle v,w\rangle = \langle Pv,w\rangle \] ti è familiare ?
Ad essere sincero non proprio... Ho visto una cosa simile (in realtà neanche così tanto) per quanto riguarda la proprietà dell'operatore trasposto per cui si ha:
\( < \digamma \ (v),w> = < v,t\digamma (w)> \) con \( v,w \in V \) e \( t\digamma operatore\ trasposto\ dell'operatore\ \digamma \)
In generale riguardo alla proiezione ortogonale non ho visto molto se non come trovarla e la sua interpretazione geometrica,poi siamo passati a vedere il complemento ortogonale di un sottospazio \( W \).
Ok, diamola un attimo per buona. Se sono dati $v_1,v_2\in V$, applicandola un paio di volte con $w_1=Pv_1$, $w_2=Pv_2$ vedi che $\langle v_1,Pv_2\rangle = \langle v_1,w_2\rangle = \langle Pv_1,w_2\rangle = \langle w_1,w_2 \rangle = \langle w_1,Pv_2\rangle = \langle w_1,v_2\rangle = \langle Pv_1,v_2\rangle$.
Se vuoi dimostrare la proprietà partendo dalla tua definizione di proiezione ortogonale, supponi di aver scelto una base ortonormale $\beta=\{e_1,\cdots,e_n\}$ di $W$ e di averla completala a una base ortonormale $B=\{e_1,\cdots,e_m\}$ di $V$. Ti basta verificare che l'identità vale quando $v\in B$ e $w\in\beta$.
Queste basi $\beta$ e $B$ sono anche sicuramente le più indicate per scrivere la matrice rappresentativa.
Se vuoi dimostrare la proprietà partendo dalla tua definizione di proiezione ortogonale, supponi di aver scelto una base ortonormale $\beta=\{e_1,\cdots,e_n\}$ di $W$ e di averla completala a una base ortonormale $B=\{e_1,\cdots,e_m\}$ di $V$. Ti basta verificare che l'identità vale quando $v\in B$ e $w\in\beta$.
Queste basi $\beta$ e $B$ sono anche sicuramente le più indicate per scrivere la matrice rappresentativa.
"coffee":
Ok, diamola un attimo per buona. Se sono dati $v_1,v_2\in V$, applicandola un paio di volte con $w_1=Pv_1$, $w_2=Pv_2$ vedi che $\langle v_1,Pv_2\rangle = \langle v_1,w_2\rangle = \langle Pv_1,w_2\rangle = \langle w_1,w_2 \rangle = \langle w_1,Pv_2\rangle = \langle w_1,v_2\rangle = \langle Pv_1,v_2\rangle$.
Se vuoi dimostrare la proprietà partendo dalla tua definizione di proiezione ortogonale, supponi di aver scelto una base ortonormale $\beta=\{e_1,\cdots,e_n\}$ di $W$ e di averla completala a una base ortonormale $B=\{e_1,\cdots,e_m\}$ di $V$. Ti basta verificare che l'identità vale quando $v\in B$ e $w\in\beta$.
Queste basi $\beta$ e $B$ sono anche sicuramente le più indicate per scrivere la matrice rappresentativa.
Grazie mille, provo a fare qualche tentativo.
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