Geometria e Algebra Lineare

Buonasera mi servirebbe una mano per capire come risolvere questo esercizio. Ho un sottospazio vettoriale V di R^4 generato dai seguenti vettori V1=(2,4,3,-1) e V2 =(0,2,-1,-3) e W={(x,y,z,t):3x-y+2z+t} Devo calcolare la dimensione e una base per l'intersezione di V e W e di V+W. R4 ha dimensione 4 mentre il vettore V ha dimensione 2. Calcolo il vettore generico che è uguale a (2h; 4h+2k; 3h-k; -h-3k). Come posso passare dall'equazione cartesiana di W al vettore generico e di conseguenza ...

Salve sono alle prese con una categoria di esercizi un po' " rognosa" , cioè le Applicazioni Lineari indotte sotto condizioni; vorrei condividere con voi un esercizio svolto del mio eserciziario con relativo dubbio . Determinare il generico endomorfismo $\phi = RR^3 -> RR^3 $ tale che $(1,1,1) € Ker \phi $ $ (2,1,1)$ è autovettore associato all'autovalore -1 , $ im \phi = {(x,y,z) € RR^3 | x-y-z =0} $ e -2 è autovalore . Soluzione Sappiamo che $ \phi(1,1,1)= ( 0,0,0)$ ...

Salve a tutti! Ho un problema con questo esercizio: In $ E_3 $ determinare la circonferenza tangente in $ A=(1,0,2) $ alla retta $ r:{ ( x-1=0 ),( y=0 ):} $ e passante per $ B=(-1,4,0) $ . Ho ragionato pensando che l'intersezione di tre piani potesse darmi il centro, quindi ho calcolato: 1. $ alpha = pn(r, B) $ e mi esce $ alpha: 2x+y-2=0 $ 2. $ beta = pn(A, _|_ r) $ e mi esce $ beta : z-2=0 $ 3. $ gamma = pn(M, _|_ AB) $ dove M che è il punto medio di AB mi esce M=(0,2,1) quindi ...

Ciao a tutti mi servirebbe il vostro aiuto per veder se ho fatto bene o meno con questo vero o falso l'esecizio è il seguente Siano A e B due matrici quadrate di ordine n. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false. • Se AB non `e invertibile allora A^t e B^t hanno rango n. • Se A è invertibile allora AB ha rango n. • Se A non è invertibile allora det(AB) = 0. Per me la prima è falsa perché se il prodotto di due matrici non e invertibile implica che una delle due o entrambe hanno ...

Si consideri lo spazio vettoriale R3 con la struttura euclidea standard el’endomorfismo f : R3 → R3 definito da $f(x, y, z) = ((-2x +ky -2z) / 3 , (kx-2y-2z) / 3 , (-2x-2y+kz) / 3)$ (a) Trovare l’unico valore di k per cui f `e un’isometria. Vorrei una mano su come impostare questo punto, so quando f è un isometria ma ho problemi ha svilupparlo. grazie

C = {z ∈ C : N(z + 1) > 2} Dove N(z) = |z|^2, se fosse stato |z+1| > 2 avrei disegnato una circonferenza di centro (-1,0) e raggio 2, per poi evidenziare tutti i punti al di fuori della circonferenza, essendo però in questo caso il modulo elevato alla seconda non so come procedere, dubito di poter fare la stessa cosa ma con raggio = sqrt(2).... Che cosa rappresenta il |x| elevato alla seconda ? Grazie anticipatamente a chi mi aiuterà..

Salve Vorrei chiedervi chiarimenti su un esercizio svolto riguardante la matrice associata ; Siano dati i vettori v1= (1,-1,1) . v2=(1,0,1) , v3= (1,1,0) e la base A=[v1,v2,v3] di $RR^3$ . è Assegnata l'applicazione lineare $g:RR^3->RR^3$ Definita da $((0,1,h+1),(h,0,-2h),(1,1,h))$ al variare di h€R Determinare $M^(A)(g) $ ___ Calcola le immagini g(1, −1, 1) =(h, −h, h) g(1, 0, 1) =(h + 1, −h, h + 1) g(1, 1, 0) =(1, h, 2). e fino a qui tutto chiaro ; poi prosegue con ...

Ciao a tutti, Sono alle prese con il seguente esercizio e, sinceramente, non capisco come impostarlo per arrivare alla soluzione. Determinare la matrice A$!=$ I tale che $A^2$ = I. Grazie in anticipo.

Mi chiedevo se il disco chiuso $D={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2<=1}$ e l'intervallo $I=[0,1]$ fossero omeomorfi. L'istinto mi dice che non lo sono, anche se non riesco a trovare una spiegazione logica per dimostrarlo (ammesso che sia così!). Se considero le proprietà topologiche come compattezza o connessione sono proprie di entrambi gli spazi perciò non concludo nulla, forse devo ragionare sull'impossibilità di trovare un omeomorfismo perché il disco si trova in uno spazio a due dimensioni mentre ...

Non ho ben chiara una cosa, correggetemi se sbaglio nelle premesse, una matrice ortogonalmente diagonalizzabile è una matrice simile ad una matrice diagonale che ha una matrice ortogonale come diagonalizzante. Una matrice ortogonale non è altro che una matrice composta da vettori ortogonali tra loro. Per il teorema spettrale io so che se una matrice è simmetrica allora è diagonalizzabile e ha una matrice diagonalizzante ortogonale. Ma a quanto ne capisco io non viene detto esplicitamente il ...

Ragazzi ho un dubbio, come posso determinare la retta data dall'intersezione tra due piani ? Calcolo il prodotto vettoriale tra i due piani in modo da calcolare il vettore direzione della retta, dopodiché basta semplicemente risolvere il sistema dato dalle equazioni dei due piani per trovarmi un punto generico della retta ? Per esempio nel caso avessi come soluzione del sistema x=y e y=-z basta porre la x=0 o uguale a qualsiasi altro numero per trovarmi le coordinate di un punto della retta ...

Ciao a tutti, potreste dirmi se è corretto? Siano V un K-spazio vettoriale, B = {v, w, z} una sua base e h un suo elemento. Sia inoltre f un endomorfismo di V la cui matrice associata è: (1 0 0) (0 0 h) (0 0 1) Si determini una base di ker(f) e una di f(V). Intanto si trova che f(av + bw + cz) = av + chw + cz, dove a,b,c sono elementi di K; ne segue che ker(f) = {kw: k appartiene a K} e quindi {w} è una base di ker(f). Infine f(V) è generato da {v, hw + z} che sono linearmente ...

Ciao a tutti, è la prima volta che posto una domanda quindi spero di essermi attenuta a tutte le regole. Avrei bisogno di aiuto su di un esercizio preso da un libro di esercizi svolti di cui non riesco a capirne un passaggio. L'applicazione data è: f:$R^2$ --> $R^3$ definita da: f(x,y)=(2x-y, x+y, 2y) ovvero assegnata mediante delle equazioni (modo a). Per definirla nel modo b ovvero assegnando le immagini dei vettori di una base del dominio, sul libro c'è scritto di ...

Devo studiare una matrice quadrata la cui prima colonna è nulla. Vorrei sapere se, indipendentemente dalla dimensione, le matrici di questo tipo hanno almeno un autovalore nullo. Ho verificato l'affermazione fino al caso in cui la dimensione è pari a 4, però mi sfugge il ragionamento da seguire per dimostrare il fatto in generale (senza procedere per induzione).

Ciao a tutti, in un esercizio mi viene dato il seguente diffeomorfismo $\phi:RR^2-{(0,y)|y \in RR}->RR^2-{(x,x)|x \in RR}$ $\phi(x,y)=(x^3+y,y)$ e il campo tensoriale $t= x \partial/(\partial x) \otimes dx \otimes dy + y \partial/(\partial y) \otimes dy \otimes dy$ e mi si chiede di calcolare $\phi_\star(t)$ e $\phi^\star(t)$. Ho trovato un po' di definizioni in giro su come sia definito ma mi è molto poco chiaro come applicare le formule oppure ci sono notazioni che non capisco; da nessuna parte riesco a trovare uno straccio di esempio. Mi spiegate come si fa?

Devo risolvere il seguente esercizio e vorrei sapere se l'ho fatto bene o se se ho sbagliato. l'esercizio dice: Sia $R^(n,n)$ lo spazio delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti reali. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false. • Se A ∈ $R^(n,n)$ e diagonalizzabile allora A ha n autovalori distinti. • Se A ∈ $R^(n,n)$ e detA = 0 allora A non e diagonalizzabile. • Se A ha l’autovalore nullo allora A non e invertibile. Allora ci ho ...

Non riesco a risolvere il secondo punto dell'esercizio in immagine. ho ricavato una base per lo spazio V (data dai vettori v1,v2,v3) ma non riesco a trovare la matrice associata alla trasformazione lineare F:V->W rispetto alle basi canoniche di V e W. Come posso fare?

Ciao a tutti! Qualcuno riuscirebbe a spiegarmi in modo semplice perché dato un prodotto scalare definito sullo spazio vettoriale V la somma della dimensione di un sottospazio con quella del suo complemento ortogonale e maggiore o uguale alla dimensione di V? E perché se il prodotto scalare è regolare la somma della dimensione di un sottospazio con quella del suo complemento ortogonale è pari a quella di V?

Sia $\phi$ applicazione lineare $\phi: V \rightarrow V$: allora $\phi^2=\phi \leftrightarrow \phi$ è proiezione. In degli appunti che mi son fatto passare, non mi è chiara la dimostrazione dell'implicazione $\rightarrow$. Chiaramente la $\leftarrow$ vale. La $\rightarrow$ viene provata in questo modo ma non mi sembra completa: Sia $\phi^2=\phi$. Si ha, $\forall v \in V$, $v=\phi(v)+(v-\phi(v))$ dove $\phi(v) \in im\phi$ e $(v-\phi(v))\in ker\phi$ (dato che $\phi(v-\phi(v))=0$). Dunque ...

Salve a tutti, vorrei un aiuto per quanto riguarda la tipologia di un esercizio. Se mi danno un'applicazione lineare e devo vedere se B={v,s} è una base per il nucleo dell'applicazione lineare come devo procedere? So che devo sfruttare la relazione che il ker è l'insieme del sistema omogeneo AX=0 dove A è la matrice associata all'applicazione, ma non so come mettere il tutto insieme. Spero di essermi spiegata bene. Grazie mille