Prodotto scalare regolare
Ciao a tutti! Qualcuno riuscirebbe a spiegarmi in modo semplice perché dato un prodotto scalare definito sullo spazio vettoriale V la somma della dimensione di un sottospazio con quella del suo complemento ortogonale e maggiore o uguale alla dimensione di V? E perché se il prodotto scalare è regolare la somma della dimensione di un sottospazio con quella del suo complemento ortogonale è pari a quella di V?
Risposte
ciao, sinceramente c'è qualcosa che non mi torna nel tuo enunciato. Come fa la somma di un sottospazio e del suo complemento ortogonale ad essere maggiore della dimensione di $V$ ?
Ad ogni modo:
Sia $E$ un sottospazio di $V$. Si ha $V=E oplus E^{_|_ }$.
Proof:
Supponiamo che $V$ abbia dimensione $n$. Poiché $E$ è sottospazio (supponiamo non sia banale, cioè che non sia il caso $E=V$), allora $dim(E)
Fissa una base ortonormale di $E$: $(u_1,...,u_k)$. Per il thm. del completamento della base, possiamo completare tale base a una base ortonormale di $V$: $(u_1,...,u_k,w_1,...,w_{n-k})$.
Ora, prendi un generico vettore di $V$: chiaramente si scrive come comb. lineare di questa base ( e la scrittura è unica):
Sia ora $s=alpha_1u_1+...+alpha_ku_k$, e $s^{_|_}=beta_1w_1+...+beta_{n-k}w_{n-k}$.
Pertanto $v=s+s^{_|_}$.
Ci resta da mostrare che la somma è diretta.
E' facile vedere che $E nn E^{_|_}={0}$.
E' chiaro anche che $s in E$. Inoltre, poiché ogni $w_i$ è ortogonale a tutti gli $u_k$ si ha che $w_i in E^{_|_}$ per tutti gli $i$, quindi $s^{_|_} in E^{_|_}$.
Allora $V=E+E^{_|_}$
Pertanto la somma è diretta
Ad ogni modo:
Sia $E$ un sottospazio di $V$. Si ha $V=E oplus E^{_|_ }$.
Proof:
Supponiamo che $V$ abbia dimensione $n$. Poiché $E$ è sottospazio (supponiamo non sia banale, cioè che non sia il caso $E=V$), allora $dim(E)
Fissa una base ortonormale di $E$: $(u_1,...,u_k)$. Per il thm. del completamento della base, possiamo completare tale base a una base ortonormale di $V$: $(u_1,...,u_k,w_1,...,w_{n-k})$.
Ora, prendi un generico vettore di $V$: chiaramente si scrive come comb. lineare di questa base ( e la scrittura è unica):
$v=alpha_1u_1+...+alpha_ku_k+beta_1w_1+...+beta_{n-k}w_{n-k}$
.Sia ora $s=alpha_1u_1+...+alpha_ku_k$, e $s^{_|_}=beta_1w_1+...+beta_{n-k}w_{n-k}$.
Pertanto $v=s+s^{_|_}$.
Ci resta da mostrare che la somma è diretta.
E' facile vedere che $E nn E^{_|_}={0}$.
E' chiaro anche che $s in E$. Inoltre, poiché ogni $w_i$ è ortogonale a tutti gli $u_k$ si ha che $w_i in E^{_|_}$ per tutti gli $i$, quindi $s^{_|_} in E^{_|_}$.
Allora $V=E+E^{_|_}$
Pertanto la somma è diretta
Ciao,
considera i prodotto scalare indotto dalla matrice $ ( (0, 1), (1, 0))$(rispetto alla canonica): osserva che $E = Span(e_1)$ e $E^{_|_ } = Span(e_1)$, tuttavia la loro intersezione è non banale, sebbene gli spazi abbiano le dimensioni adeguate per essere in somma diretta.
L'errore nella tua dimostrazione, feddy, è qui:
non sapendo com'è fatto il prodotto scalare non puoi presupporre l'esistenza di una base ortonormale, per esempio uno spazio vettoriale reale $V$ di dimensione $3$ dotato del prodotto scalare indotto da $((1, 0, 0), (0, -1, 0), (0, 0, 0))$ non ammette una base ortonormale(ossia tale per cui la matrice associata al prodotto scalare è l'identità).
Per quanto riguarda l'OP: precisamente cosa non capisci della dimostrazione?
considera i prodotto scalare indotto dalla matrice $ ( (0, 1), (1, 0))$(rispetto alla canonica): osserva che $E = Span(e_1)$ e $E^{_|_ } = Span(e_1)$, tuttavia la loro intersezione è non banale, sebbene gli spazi abbiano le dimensioni adeguate per essere in somma diretta.
L'errore nella tua dimostrazione, feddy, è qui:
possiamo completare tale base a una base ortonormale di V
non sapendo com'è fatto il prodotto scalare non puoi presupporre l'esistenza di una base ortonormale, per esempio uno spazio vettoriale reale $V$ di dimensione $3$ dotato del prodotto scalare indotto da $((1, 0, 0), (0, -1, 0), (0, 0, 0))$ non ammette una base ortonormale(ossia tale per cui la matrice associata al prodotto scalare è l'identità).
Per quanto riguarda l'OP: precisamente cosa non capisci della dimostrazione?
Certo, il fatto è che io ho considerato l'usuale prodotto scalare, perché pensavo che per prodotto scalare "regolare" intendesse quello. 
Grazie dell'osservazione, infatti mi pareva strano !
Grazie dell'osservazione, infatti mi pareva strano !
Il termine "prodotto scalare" ha definizioni leggermente diverse a seconda del libro. Suppongo che nel tuo caso si tratti semplicemente di una forma bilineare simmetrica e che con regolare tu intenda quello che io chiamo non degenere. Altri autori usano il termine prodotto scalare solamente per le forme bilineari simmetriche non degeneri definite positive. Ma immagino che le preferenze siano motivate dall'interesse dell'autore per la fisica ed in particolare la relatività.
Esistono varie dimostrazioni di ciò che chiedi, non so che dimostrazione ha deciso di usare il tuo professore.
P.S.: Rispetto alla base \(\displaystyle\biggl\{\frac{\mathbf{i} + \mathbf{j}}{2},\ \frac{\mathbf{i} - \mathbf{j}}{2}\biggr\}\), il prodotto scalare proposto da Shocker ha la forma \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \).
Esistono varie dimostrazioni di ciò che chiedi, non so che dimostrazione ha deciso di usare il tuo professore.
P.S.: Rispetto alla base \(\displaystyle\biggl\{\frac{\mathbf{i} + \mathbf{j}}{2},\ \frac{\mathbf{i} - \mathbf{j}}{2}\biggr\}\), il prodotto scalare proposto da Shocker ha la forma \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \).
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