Matrici ortogonalmente diagonalizzabili

[Lodosage]

Non ho ben chiara una cosa, correggetemi se sbaglio nelle premesse, una matrice ortogonalmente diagonalizzabile è una matrice simile ad una matrice diagonale che ha una matrice ortogonale come diagonalizzante. Una matrice ortogonale non è altro che una matrice composta da vettori ortogonali tra loro. Per il teorema spettrale io so che se una matrice è simmetrica allora è diagonalizzabile e ha una matrice diagonalizzante ortogonale. Ma a quanto ne capisco io non viene detto esplicitamente il viceversa, ovvero che una matrice ortogonalmente diagonalizzabile può essere solo simmetrica come viene dato per scontato in alcuni esercizi. Da cosa si deduce dunque ciò?

[feddy]

Lavoriamo nel caso reale.
Una matrice è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se è simmetrica. Per trovare tale matrice diagonalizzante devi determinare una base di autovettori della tua matrice (chiamiamola $A$), e, se necessario, utilizzare l'algoritmo di Gram-Schmidt per ortonormalizzarli.

[Lodosage]

"feddy":Lavoriamo nel caso reale.
Una matrice è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se è simmetrica.

Ma da cosa sappiamo ciò? Qual è il teorema che lo enuncia?

[Shocker1]

"Leoddio":[quote="feddy"]Lavoriamo nel caso reale.
Una matrice è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se è simmetrica.

Ma da cosa sappiamo ciò? Qual è il teorema che lo enuncia?[/quote]
A me sembra la versione matriciale del teorema spettrale reale.

la freccia $\rightarrow$ è facile: $A \in M(\mathbb{R}, n)$ ortogonalmente diagonalizzabile allora $\exists P \in O(n)$ tale che $P^{-1}AP = D$ diagonale, ma $P$ è ortogonale, dunque $P^(t) A P = D$, cioè $A = PDP^t$, facendo la trasposta ambo i membri si ottiene che $A^t = PDP^{t} = A$, quindi $A$ è simmetrica.

[feddy]

Esatto, viene dal teorema spettrale!

[Lodosage]

ho controllato meglio e mi pare che venga dalle proprietà degli endomorfismi simmetrici, la prima è per l'appunto che una matrice è simmetrica solo se associata ad un endo simmetrico e poi si può usare il teorema spettrale la cui premessa è che appunto si parli di endomorfismi simmetrici