Spazi euclidei

[carlovalori]

Si consideri lo spazio vettoriale R3 con la struttura euclidea standard el’endomorfismo f : R3 → R3 definito da
$f(x, y, z) = ((-2x +ky -2z) / 3 , (kx-2y-2z) / 3 , (-2x-2y+kz) / 3)$

(a) Trovare l’unico valore di k per cui f `e un’isometria.

Vorrei una mano su come impostare questo punto, so quando f è un isometria ma ho problemi ha svilupparlo. grazie

[feddy]

Ciao, io troverei la matrice associata rispetto alla base canonica. Fatto questo, sai che una matrice rappresenta un'isometria se le colonne formano una base ortonormale e il determinante è pari a $1$, se non sbaglio (è da un po' che non rivedo questi argomenti).

[feddy]

Forse questolink pul esserti utile

[carlovalori]

se prendo la matrice associata alla base canonica e la moltiplico per la sua trasposta ponendo il risultato uguale alla matrice identità mi è piu semplice trovare k, è giusto?

[feddy]

Poiché $M$ è ortonormale, allora $M^-1=M^T$, allora $M*M^T=I$, quindi l'identità è verificata. Puoi fare anche così