Dubbio su un esercizio
Devo risolvere il seguente esercizio e vorrei sapere se l'ho fatto bene o se se ho sbagliato. l'esercizio dice:
Sia $R^(n,n)$ lo spazio delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti reali. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false.
• Se A ∈ $R^(n,n)$ e diagonalizzabile allora A ha n autovalori distinti.
• Se A ∈ $R^(n,n)$ e detA = 0 allora A non e diagonalizzabile.
• Se A ha l’autovalore nullo allora A non e invertibile.
Allora ci ho ragionato su e sono arrivato a dire che la prima è falsa poiché una matrice per essere diagonalizzabile la molteplicita algebrica e geometrica di ogni autovalore devono coincidere quindi non sono necessari n autovalori; la seconda per me è vera; la terza secondo me è falsa perché una matrice per essere invertibile deve avere determinante diverso da zero quindi anche se un autovalore è zero non significa che il determinante sia nullo.
Ho ragionato nel modo giusto o ho sbagliato ??
Sia $R^(n,n)$ lo spazio delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti reali. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false.
• Se A ∈ $R^(n,n)$ e diagonalizzabile allora A ha n autovalori distinti.
• Se A ∈ $R^(n,n)$ e detA = 0 allora A non e diagonalizzabile.
• Se A ha l’autovalore nullo allora A non e invertibile.
Allora ci ho ragionato su e sono arrivato a dire che la prima è falsa poiché una matrice per essere diagonalizzabile la molteplicita algebrica e geometrica di ogni autovalore devono coincidere quindi non sono necessari n autovalori; la seconda per me è vera; la terza secondo me è falsa perché una matrice per essere invertibile deve avere determinante diverso da zero quindi anche se un autovalore è zero non significa che il determinante sia nullo.
Ho ragionato nel modo giusto o ho sbagliato ??
Risposte
Per la $(3)$ secondo me è utile pensare che, una volta diagonalizzata la matrice, si ha $D=P^(-1)AP$. Con $P$ matrice "diagonalizzante" [per intenderci, quella che ha come colonne gli autovettori].
Ora, per la regola di Binet: $det(D)=(det(P)*det(A))/det(P)$. [nota]Questo è un fatto che vale in generale. Matrici simili hanno lo stesso determinante.[/nota]Quindi $det(D)=(det(A))$. Ma il determinante di una matrice diagonale è dato dal prodotto dei termini sulla diagonale (in questo caso gli autovalori), per cui risulta $det(D)=0=det(A)$. Quindi il determinante è nullo e la matrice $A$ non è invertibile.
Ora, per la regola di Binet: $det(D)=(det(P)*det(A))/det(P)$. [nota]Questo è un fatto che vale in generale. Matrici simili hanno lo stesso determinante.[/nota]Quindi $det(D)=(det(A))$. Ma il determinante di una matrice diagonale è dato dal prodotto dei termini sulla diagonale (in questo caso gli autovalori), per cui risulta $det(D)=0=det(A)$. Quindi il determinante è nullo e la matrice $A$ non è invertibile.
Per $(2)$ si può notare che il determinante è $0$, per esempio, quando un autovalore è nullo. Ma questo non significa che non sia diagonalizzabile. Secondo me quindi è falsa la $(2)$.
Ciao,
il punto $3$ si può fare anche in un altro modo: $0$ è un autovalore per $A$, questo vuol dire che la sua molteplicità geometrica è almeno $1$, ma che cos'è la molteplicità geometrica di $0$? E' la dimensione dell'autospazio relativo a $0$, che coincide con il nucleo della matrice, dunque $dimKerA >= 1$, quindi $A$ non è invertibile.
il punto $3$ si può fare anche in un altro modo: $0$ è un autovalore per $A$, questo vuol dire che la sua molteplicità geometrica è almeno $1$, ma che cos'è la molteplicità geometrica di $0$? E' la dimensione dell'autospazio relativo a $0$, che coincide con il nucleo della matrice, dunque $dimKerA >= 1$, quindi $A$ non è invertibile.
Bella lì Shocker, non c'avevo proprio pensato ! 
Shocker mi potresti spiegare meglio il tuo ragionamento perché non riesco a capire. 
Certo: dato che $0$ è autovalore per $A$ allora vi è almeno un vettore $v$ non nullo(autovettore) tale che $Av = 0$, quindi l'autospazio $V_0 = { v \in \mathbb{R^n} | Av = 0} = KerA$ relativo a $0$ ha almeno dimensione $1$(la dimensione di un autospazio relativo a un autovalore $\lambda$ viene chiamata "molteplicità geometrica di $\lambda$"), quindi il nucleo di $A$ non è banale e questo ti dice che l'applicazione non è iniettiva, quindi non è invertibile(per essere invertibile deve essere bigettiva, cioè iniettiva e surgettiva). Ti è più chiaro? Altrimenti dimmi precisamente quali sono i tuoi dubbi, così li sciogliamo 
Ps: grazie feddy
Ps: grazie feddy
sisi chiarissimo ora grazie mille per la spiegazione
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