Nucleo e immagine di endomorfismo

[marco.ve1]

Ciao a tutti, potreste dirmi se è corretto?

Siano V un K-spazio vettoriale, B = {v, w, z} una sua base e h un suo elemento.
Sia inoltre f un endomorfismo di V la cui matrice associata è:
(1 0 0)
(0 0 h)
(0 0 1)
Si determini una base di ker(f) e una di f(V).

Intanto si trova che f(av + bw + cz) = av + chw + cz, dove a,b,c sono elementi di K; ne segue che ker(f) = {kw: k appartiene a K} e quindi {w} è una base di ker(f).
Infine f(V) è generato da {v, hw + z} che sono linearmente indipendenti.

grazie

[feddy]

Ti invito a scrivere coi compilatori di formule... per le matrici esistono dei comandi preconfezionati che sono già pronti.

Ad ogni modo, se quella è la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base $B$, allora per determinarne il nucleo è necessario risolvere il sistema omogeneo $Avecx=vec0$.
Da cui $ { ( x=0 ),( y=\mu ),( z=0 ):} $ con $\mu in KK$.

Una sua base è quindi data dallo span del vettore $((0),(mu),(0)):mu in mathbb(K)$.

Per il teorema delle dimensioni, l'immagine ha dimensione $2$. Quindi basta estrarre due vettori linearmente indipendenti dalla matrice, come possono essere $((1),(0),(0)),((0),(h),(1))$ che sono linearmente indipendenti per qualsiasi valore di $h$