Potenza di matrice
Ciao a tutti,
Sono alle prese con il seguente esercizio e, sinceramente, non capisco come impostarlo per arrivare alla soluzione.
Determinare la matrice A$!=$ I tale che $A^2$ = I.
Grazie in anticipo.
Sono alle prese con il seguente esercizio e, sinceramente, non capisco come impostarlo per arrivare alla soluzione.
Determinare la matrice A$!=$ I tale che $A^2$ = I.
Grazie in anticipo.
Risposte
Il testo del problema è mal posto: ce ne sono infinite. La matrice ha una qualche dimensione fissata? Ha coefficienti in che campo?
Dovresti specificare la dimensione, altrimenti è un po' difficile generalizzare...
Comunque, se $A$ è ortogonale, allora hai che $A*A^T=I$. Se poi è pure simmetrica, allora $A=A^T$, da cui il prodotto $A*A^T=I=A^2$.
Devi determinare quindi una matrice simmetrica e ortogonale...
Edit: vict85 mi ha ancticipato
Comunque, se $A$ è ortogonale, allora hai che $A*A^T=I$. Se poi è pure simmetrica, allora $A=A^T$, da cui il prodotto $A*A^T=I=A^2$.
Devi determinare quindi una matrice simmetrica e ortogonale...
Edit: vict85 mi ha ancticipato
Ti ringrazio..il quesito è quello che ho scritto
Grazie mille!
Grazie mille!
Ci sono infinite di quelle matrici, quindi il testo non può essere "Determinare la matrice..." 
. Comunque \(A\) deve sicuramente essere quadrata (altrimenti il prodotto non ha senso) e avere determinante \(\displaystyle \pm 1 \) (perché \(\det(A)^2 = \det(A^2) = \det(I) = 1\)). Ovviamente si ha che \(\displaystyle A = A^{-1} \).
Inoltre \(\displaystyle (A+I)(A-I) = A^2 - I = 0 \) pertanto \(\displaystyle \det(A+I)=0 \), \(\displaystyle \mathrm{tr}(A+I)=0 \) oppure \(\displaystyle \det(A-I)=0 \), \(\displaystyle \mathrm{tr}(A-I) =0 \).
. Comunque \(A\) deve sicuramente essere quadrata (altrimenti il prodotto non ha senso) e avere determinante \(\displaystyle \pm 1 \) (perché \(\det(A)^2 = \det(A^2) = \det(I) = 1\)). Ovviamente si ha che \(\displaystyle A = A^{-1} \).Inoltre \(\displaystyle (A+I)(A-I) = A^2 - I = 0 \) pertanto \(\displaystyle \det(A+I)=0 \), \(\displaystyle \mathrm{tr}(A+I)=0 \) oppure \(\displaystyle \det(A-I)=0 \), \(\displaystyle \mathrm{tr}(A-I) =0 \).
Do qualche suggerimento anche io.
Supponiamo di essere in uno spazio vettoriale su campo $\mathbb{K}$ di caratteristica diversa da $2$(cioè $1+1 !=0$).
Chiaramente $A = -I$ soddisfa la richiesta, supponiamo $A != -I$ allora la matrice è diagonalizzabile e ha come autovalori ${+1, -1}$, questo si può vedere in due modi:
1) ogni vettore $v$ di $\mathbb{K^n}$ si può scrivere come $v = v_1 + v_2$ dove $v_1 = ((v-Av)/2)$ e $v_2 = ((v + Av)/2)$, ora $v_1$ e $v_2$ sono autovettori per $A$, infatti $Av_1 = -v_1$ e $Av_2 = v_2$(basta sfruttare il fatto che $A^2 = I$ nel conto), quindi $\mathbb{K^n} = V_1 \oplus V_{-1}$;
2)$A^2 - I = 0$ vuol dire che $t^2 - 1 \in I(A) = {p(t) \in \mathbb{K}[t] | p(A)=0}$, dato che $A != +- I $ segue che $t^2 - 1$ è il polinomio minimo di $A$(cioè che genera $I(A)$) e dato che $t^2 - 1 = (t-1)(t+1)$ si spezza in fattori lineari allora $A$ è diagonalizzabile e ha come spettro ${-1, +1}$.
Quindi ti basta prendere una qualsiasi matrice diagonalizzabile che abbia come autovalori ${+1, -1}$.
D'accordo sul determinante, ma perché $tr(A+I) = 0$ oppure $tr(A-I) = 0$?
Supponiamo di essere in uno spazio vettoriale su campo $\mathbb{K}$ di caratteristica diversa da $2$(cioè $1+1 !=0$).
Chiaramente $A = -I$ soddisfa la richiesta, supponiamo $A != -I$ allora la matrice è diagonalizzabile e ha come autovalori ${+1, -1}$, questo si può vedere in due modi:
1) ogni vettore $v$ di $\mathbb{K^n}$ si può scrivere come $v = v_1 + v_2$ dove $v_1 = ((v-Av)/2)$ e $v_2 = ((v + Av)/2)$, ora $v_1$ e $v_2$ sono autovettori per $A$, infatti $Av_1 = -v_1$ e $Av_2 = v_2$(basta sfruttare il fatto che $A^2 = I$ nel conto), quindi $\mathbb{K^n} = V_1 \oplus V_{-1}$;
2)$A^2 - I = 0$ vuol dire che $t^2 - 1 \in I(A) = {p(t) \in \mathbb{K}[t] | p(A)=0}$, dato che $A != +- I $ segue che $t^2 - 1$ è il polinomio minimo di $A$(cioè che genera $I(A)$) e dato che $t^2 - 1 = (t-1)(t+1)$ si spezza in fattori lineari allora $A$ è diagonalizzabile e ha come spettro ${-1, +1}$.
Quindi ti basta prendere una qualsiasi matrice diagonalizzabile che abbia come autovalori ${+1, -1}$.
"vict85":
Ci sono infinite di quelle matrici, quindi il testo non può essere "Determinare la matrice..."
Inoltre \( \displaystyle (A+I)(A-I) = A^2 - I = 0 \) pertanto \( \displaystyle \det(A+I)=0 \), \( \displaystyle \mathrm{tr}(A+I)=0 \) oppure \( \displaystyle \det(A-I)=0 \), \( \displaystyle \mathrm{tr}(A-I) =0 \).
D'accordo sul determinante, ma perché $tr(A+I) = 0$ oppure $tr(A-I) = 0$?
In effetti non è vero, ho scritto velocemente.
Grazie infinite!!
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