Applicazion(i Lineari indotte sotto Condizioni
Salve
sono alle prese con una categoria di esercizi un po' " rognosa" , cioè le Applicazioni Lineari indotte sotto condizioni;
vorrei condividere con voi un esercizio svolto del mio eserciziario con relativo dubbio .
Determinare il generico endomorfismo $\phi = RR^3 -> RR^3 $ tale che $(1,1,1) € Ker \phi $
$ (2,1,1)$ è autovettore associato all'autovalore -1 , $ im \phi = {(x,y,z) € RR^3 | x-y-z =0} $ e -2 è autovalore .
Soluzione
Sappiamo che $ \phi(1,1,1)= ( 0,0,0)$
$\phi (2,1,1)= (-2,-1,-1) $
inoltre , possiamo dire che $ im \phi = \mathcal{L} ((2,1,1) (1,0,1)) $ e, dal momento che $(1,1,1) notin im \phi $ , deduciamo che $(1,1,1) (2,1,1) (1,0,1)$ sono linearmente indipendenti e, quindi A = [(1,1,1) (2,1,1) (1,0,1)] è una base di $RR^3$ . Essendo $im \phi = \mathcal{L} ((2,1,1) (1,0,1)) $ , deve essere :
$\phi=(1,0,1) = a(2,1,1) + b(1,0,1) $
L'esercizio continua trovando la matrice etc etc..
ma il mio dubbio è , come mai scrive che deve essere $\phi=(1,0,1) = a(2,1,1) + b(1,0,1) $
anzichè non so $\phi=(2,1,1) = a(1,0,1) + b(2,1,1) $ ??
Grazie per gli eventuali chiarimenti
sono alle prese con una categoria di esercizi un po' " rognosa" , cioè le Applicazioni Lineari indotte sotto condizioni;
vorrei condividere con voi un esercizio svolto del mio eserciziario con relativo dubbio .
Determinare il generico endomorfismo $\phi = RR^3 -> RR^3 $ tale che $(1,1,1) € Ker \phi $
$ (2,1,1)$ è autovettore associato all'autovalore -1 , $ im \phi = {(x,y,z) € RR^3 | x-y-z =0} $ e -2 è autovalore .
Soluzione
Sappiamo che $ \phi(1,1,1)= ( 0,0,0)$
$\phi (2,1,1)= (-2,-1,-1) $
inoltre , possiamo dire che $ im \phi = \mathcal{L} ((2,1,1) (1,0,1)) $ e, dal momento che $(1,1,1) notin im \phi $ , deduciamo che $(1,1,1) (2,1,1) (1,0,1)$ sono linearmente indipendenti e, quindi A = [(1,1,1) (2,1,1) (1,0,1)] è una base di $RR^3$ . Essendo $im \phi = \mathcal{L} ((2,1,1) (1,0,1)) $ , deve essere :
$\phi=(1,0,1) = a(2,1,1) + b(1,0,1) $
L'esercizio continua trovando la matrice etc etc..
ma il mio dubbio è , come mai scrive che deve essere $\phi=(1,0,1) = a(2,1,1) + b(1,0,1) $
anzichè non so $\phi=(2,1,1) = a(1,0,1) + b(2,1,1) $ ??
Grazie per gli eventuali chiarimenti
Risposte
"mat100":
$\phi=(1,0,1) = a(2,1,1) + b(1,0,1) $
Ciao, sinceramente non capisco cosa intendi qui. Intedi $phi(1,0,1)$?
Per esempio, io noterei per cominciare che per linearità $phi(2,1,1)-phi(1,1,1)=phi(1,0,0)=(-2,-1,-1)$.
Adesso, sapendo che $A$ è una base di $RR^3$ puoi con due sistemini veloci ricavarti i trasformati dei vettori della base canonica $phi(0,1,0),phi(0,0,1)$ e ti scrivi la matrice associata.
Da qui poi è un attimo trovare l'espressione del tuo $phi$ sotto forma di equazione.
"feddy":
[quote="mat100"]
$\phi=(1,0,1) = a(2,1,1) + b(1,0,1) $
Ciao, sinceramente non capisco cosa intendi qui. Intedi $phi(1,0,1)$?
[/quote]
ciao intanto grazie per la risposta;
Cmq si scusa; errore di battitura , è come hai giustamente evidenziato tu .
Riguardo la risoluzione sono d'accordo con te , ma la mia domanda era un altra...
ovvero se potevamo scrivere $\phi(2,1,1) $ anzichè $\phi(1,0,1)$
Sinceramente non capisco nemmeno io il bisogno: $\phi(2,1,1) = a(1,0,1) + b(2,1,1)$ $<=>$ $a=0,b=1$. Se l'obiettivo è scrivere la matrice associata, allora hai già finito. Poi magari il tuo prof. dice altro nella sostituzione, e un motivo particolare c'è. +
A presto.
A presto.
Grazie Feddy ;
no più che altro sono esercizi svolti dell'eserciziario , quindi commentarli qui è più affidabile del solo confronto col testo che spesso scrive stranezze ^^!
no più che altro sono esercizi svolti dell'eserciziario , quindi commentarli qui è più affidabile del solo confronto col testo che spesso scrive stranezze ^^!
Di nulla. Ti capisco 
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