Matrice associata ad una Base
Salve
Vorrei chiedervi chiarimenti su un esercizio svolto riguardante la matrice associata ;
Siano dati i vettori v1= (1,-1,1) . v2=(1,0,1) , v3= (1,1,0) e la base A=[v1,v2,v3] di $RR^3$ .
è Assegnata l'applicazione lineare $g:RR^3->RR^3$
Definita da
$((0,1,h+1),(h,0,-2h),(1,1,h))$
al variare di h€R
Determinare $M^(A)(g) $
___
Calcola le immagini
g(1, −1, 1) =(h, −h, h)
g(1, 0, 1) =(h + 1, −h, h + 1)
g(1, 1, 0) =(1, h, 2).
e fino a qui tutto chiaro ;
poi prosegue con
$[(x,y,z)]_(A) = $ (x − y − z, −x + y + 2z, x − z) <-- è proprio questo passaggio che non ho capito cosa si è fatto
Grazie per gli eventuali chiarimenti
Vorrei chiedervi chiarimenti su un esercizio svolto riguardante la matrice associata ;
Siano dati i vettori v1= (1,-1,1) . v2=(1,0,1) , v3= (1,1,0) e la base A=[v1,v2,v3] di $RR^3$ .
è Assegnata l'applicazione lineare $g:RR^3->RR^3$
Definita da
$((0,1,h+1),(h,0,-2h),(1,1,h))$
al variare di h€R
Determinare $M^(A)(g) $
___
Calcola le immagini
g(1, −1, 1) =(h, −h, h)
g(1, 0, 1) =(h + 1, −h, h + 1)
g(1, 1, 0) =(1, h, 2).
e fino a qui tutto chiaro ;
poi prosegue con
$[(x,y,z)]_(A) = $ (x − y − z, −x + y + 2z, x − z) <-- è proprio questo passaggio che non ho capito cosa si è fatto
Grazie per gli eventuali chiarimenti
Risposte
Quella matrice associata all'applicazione, lo è rispetto alle base che hai scritto?
"anto_zoolander":
Quella matrice associata all'applicazione, lo è rispetto alle base che hai scritto?
mi pare rispetto alla base canonica di $RR^3 $
ok, ho risolto in una maniera diversa;
calcolo semplicemente i vettori immagini rispetto alla nuova base
Esempio colonna 1
$(h,-h,h) = x( 1,-1,1)+y(1,0,1)+z(1,1,0)$
risolvo il sistema associato e trovo il vettore colonna [h,0,0]
tuttavia non arrivo a capire da dove viene [(x, y, z)]A = (x − y − z, −x + y + 2z, x − z)
calcolo semplicemente i vettori immagini rispetto alla nuova base
Esempio colonna 1
$(h,-h,h) = x( 1,-1,1)+y(1,0,1)+z(1,1,0)$
risolvo il sistema associato e trovo il vettore colonna [h,0,0]
tuttavia non arrivo a capire da dove viene [(x, y, z)]A = (x − y − z, −x + y + 2z, x − z)
Ci ho ragionato un po'.
Sicuramente deve essere la matrice associata rispetto alla base canonica, sennò calcolare $Av$ e $g(v)$ con $A$ rispetto ad un'altra base, in generale non darebbe lo stesso risultato
Per calcolare le immagini ha praticamente usato $RR^3congM_(3,1)(RR)$
Ora io ho calcolato, posto $B_1={(1,-1,1),(1,0,1),(1,1,0)}$
$g(e_1)=he_1$
$g(e_2)=he_1+e_2$
$g(e_3)=-(h+1)e_1+(h+3)e_2-e_3$
da cui si trova la matrice $B=((h,h,-h-1),(0,1,h+3),(0,0,-1))$
Se non prendo un palo a 100km/h, questa dovrebbe rappresentare $g$ rispetto alla base $B_1$
Bisognerebbe mostrare che $A,B$ siano simili per concludere che rappresentano la medesima applicazione lineare
La matrice rispetto alla base canonica è $A=((0,1,h+1),(h,0,-2h),(1,1,h))$
Ora sicuramente qualche condizione necessaria è soddisfatta:
Al variare di $h$ hanno lo stesso rango
Hanno lo stesso determinante $det(A)=det(B)=-h$
Forse anche lo stesso polinomio caratteristico.
Riguardo all'ultima cosa
Non capisco cosa intenda per $[(x,y,z)]_A$. Più che altro la notazione
Edit:
Ho calcolato $P_A(lambda),P_B(lambda)$ e coincidono, dunque dovrebbero essere simili, però andrebbe visto se sono diagonalizzabili. Per $hne1,-1$ sono diagonalizzabili quindi sono simili e rappresentano la stessa applicazione lineare ciascuna delle matrici rispetto alle proprie basi. Dunque $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto alla base $B_1$ sicuramente per $hne1,-1$
Sicuramente deve essere la matrice associata rispetto alla base canonica, sennò calcolare $Av$ e $g(v)$ con $A$ rispetto ad un'altra base, in generale non darebbe lo stesso risultato
Per calcolare le immagini ha praticamente usato $RR^3congM_(3,1)(RR)$
Ora io ho calcolato, posto $B_1={(1,-1,1),(1,0,1),(1,1,0)}$
$g(e_1)=he_1$
$g(e_2)=he_1+e_2$
$g(e_3)=-(h+1)e_1+(h+3)e_2-e_3$
da cui si trova la matrice $B=((h,h,-h-1),(0,1,h+3),(0,0,-1))$
Se non prendo un palo a 100km/h, questa dovrebbe rappresentare $g$ rispetto alla base $B_1$
Bisognerebbe mostrare che $A,B$ siano simili per concludere che rappresentano la medesima applicazione lineare
La matrice rispetto alla base canonica è $A=((0,1,h+1),(h,0,-2h),(1,1,h))$
Ora sicuramente qualche condizione necessaria è soddisfatta:
Al variare di $h$ hanno lo stesso rango
Hanno lo stesso determinante $det(A)=det(B)=-h$
Forse anche lo stesso polinomio caratteristico.
Riguardo all'ultima cosa
Non capisco cosa intenda per $[(x,y,z)]_A$. Più che altro la notazione
Edit:
Ho calcolato $P_A(lambda),P_B(lambda)$ e coincidono, dunque dovrebbero essere simili, però andrebbe visto se sono diagonalizzabili. Per $hne1,-1$ sono diagonalizzabili quindi sono simili e rappresentano la stessa applicazione lineare ciascuna delle matrici rispetto alle proprie basi. Dunque $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto alla base $B_1$ sicuramente per $hne1,-1$
Grazie Anto ;
molto chiaro, se posso chiedo alla prof il significato di quello specifico passaggio ;
Su tutto il resto mi trovo
molto chiaro, se posso chiedo alla prof il significato di quello specifico passaggio ;
Su tutto il resto mi trovo
Poi magari fammi sapere che sono curioso 
"anto_zoolander":
Poi magari fammi sapere che sono curioso
Anto non mi sono dimenticato
Semplicemente la Prof è Fuori e torna fine marzo ^^!
tra l'altro essendo io fuoriSede , penso che questo dubbio resterà per un po' su foglio
! ci aggiorniamo ;D
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo