Curva piana $<=> \tau(t)=0$
Buongiorno,
ho il seguente dubbio, a cui non trovo una soluzione: in generale, è vero che una curva $ \gamma$ è piana se e solo se la sua torsione è nulla?
Infatti,
La torsione risulta effettivamente identicamente nulla per ogni $t$. Ma non so se è condizione necessaria e sufficiente. Probabilmente c'entra il fatto che la parametrizzazione non è di classe $C^1$, ma non saprei bene in ogni caso come motivare la risposta negativa, e, soprattutto, come poter dire se è piana o meno.
Grazie a chiunque mi possa aiutare a sciogliere questo dubbio
ho il seguente dubbio, a cui non trovo una soluzione: in generale, è vero che una curva $ \gamma$ è piana se e solo se la sua torsione è nulla?
Infatti,
data la curva $\gamma: RR \setminus {0} \rarr RR^3, \gamma(t)=(t,1+1/t,1/t -t)$, mi viene richiesto:
(i) calcolarne la torsione $\tau(t)$
(ii)quanto verificato al punto precedente è sufficiente per concludere che la curva è piana? (In caso di risposta negativa, dire se essa è piana o meno).
La torsione risulta effettivamente identicamente nulla per ogni $t$. Ma non so se è condizione necessaria e sufficiente. Probabilmente c'entra il fatto che la parametrizzazione non è di classe $C^1$, ma non saprei bene in ogni caso come motivare la risposta negativa, e, soprattutto, come poter dire se è piana o meno.
Grazie a chiunque mi possa aiutare a sciogliere questo dubbio
Risposte
Si può verificare direttamente la "complanarità" o meno della curva al seguente modo.
Sia $ax+by+cz+d=0$ l'equazione del generico piano di $R^3$. Sostituendo in essa le coordinate
del punto (generico) di $gamma$ si ha:
$a(t)+b(1+1/t)+c(1/t-t)+d=0$
Ovvero ordinando rispettp a $t$:
$(a-c)t^2+(b+d)t+(b+c)=0$
Quest'ultima equazione è soddisfatta per ogni valore di $t$ solo e solo se tutti i suoi coefficienti sono nulli.
Di conseguenza si ha il sistema:
\begin{cases}a-c=0\\b+d=0\\b+c=0\end{cases}
le cui (infinite) soluzioni sono :
$a=c,b=-c,d=c$ con $c\ne 0$
Sostituendo nell'equazione del piano risulta:
$cx-cy+cz+c=0$ da cui il piano $x-y+z+1=0$
Si conclude che la curva è piana.
Sia $ax+by+cz+d=0$ l'equazione del generico piano di $R^3$. Sostituendo in essa le coordinate
del punto (generico) di $gamma$ si ha:
$a(t)+b(1+1/t)+c(1/t-t)+d=0$
Ovvero ordinando rispettp a $t$:
$(a-c)t^2+(b+d)t+(b+c)=0$
Quest'ultima equazione è soddisfatta per ogni valore di $t$ solo e solo se tutti i suoi coefficienti sono nulli.
Di conseguenza si ha il sistema:
\begin{cases}a-c=0\\b+d=0\\b+c=0\end{cases}
le cui (infinite) soluzioni sono :
$a=c,b=-c,d=c$ con $c\ne 0$
Sostituendo nell'equazione del piano risulta:
$cx-cy+cz+c=0$ da cui il piano $x-y+z+1=0$
Si conclude che la curva è piana.
Il se e solo se del titolo è valido quando la curva è sufficientemente regolare (ora non ricordo, prova a guardare qualche libro di testo)
In questo caso la torsione nulla non sembrerebbe condizione sufficiente.
E' vero che le curve $gamma_1:(0,oo)->RR^3$ e $gamma_2:(-oo,0)->RR^3$ sono complanari, ma non è detto che siano complanari sullo stesso piano.
In questo caso la torsione nulla non sembrerebbe condizione sufficiente.
E' vero che le curve $gamma_1:(0,oo)->RR^3$ e $gamma_2:(-oo,0)->RR^3$ sono complanari, ma non è detto che siano complanari sullo stesso piano.
Grazie a entrambi per le risposte ! In ogni caso, mi pare di capire che il procedimento di @massimoaa sia corretto.
@Ernesto, purtroppo ho cercato ma non sono riuscito a trovare, diciamo, il "grado di regolarità" che serve
@Ernesto, purtroppo ho cercato ma non sono riuscito a trovare, diciamo, il "grado di regolarità" che serve
Ora che mi viene in mente la definizione di curva, sui cui si basa tutta la teoria delle curve, è quella con $I$ intervallo di $RR$.
Quindi credo che dal punto di vista formale quella funzione dell'esercizio non può essere considerata una curva.
A meno che tu non usi una definizione diversa, insomma.
Quindi credo che dal punto di vista formale quella funzione dell'esercizio non può essere considerata una curva.
A meno che tu non usi una definizione diversa, insomma.
@Ernesto001, la definizione di "curva di classe $C^k$ che ho io è quella di un'applicazione $\sigma$ di classe $C^k$, $\sigma: I \rarr RR^3$, dove $I$ è intervallo di $RR$, che presumo sia la tua 
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