Invento un esercizietto riepilogativo
Dati i vettori $ bar(u)=[ ( 1 ),( -2 ) ],bar(v)= [ ( -3 ),( 6 ) ] , bar(z)=[ ( 5 ),( 4 ) ], bar(t)=[ ( -5 ),( 2 ) ] $:
1) lo spazio vettoriale generato dai vettori è $ V={bar(y)inR^2:bar(y)=alpha[ ( 1 ),( -2 ) ]+beta[ ( -3 ),( 6 )]+delta[ ( 5 ),( 4 ) ]+gamma[ ( -5 ),( 2 ) ], alpha,beta,delta,gammainR} $ .
2) un sottospazio vettoriale generato dai vettori è $ S={bar(x)inR^2:bar(x)=alpha[ ( -3 ),( 6 ) ]+beta[ ( 5 ),( 4 )], alpha,beta,gammainR} $ , ma può anche essere:
- $ Q={bar(x)inR^2:bar(x)=alpha[ ( 5 ),( 4 ) ]+beta[ ( -5 ),( 2 )], alpha,beta,inR} $,
- $ W={bar(x)inR^2:bar(x)=alpha[ ( 1 ),( -2 ) ]+beta[ ( 5 ),( 4 )], alpha,beta,inR} $,
- $ G={bar(x)inR^2:bar(x)=alpha[ ( 1 ),( -2 ) ]+beta[ ( -5 ),( 2 )], alpha,beta,inR} $.
3) una base di $S$ è ${[ ( -3 ),( 6 )];[ ( 5 ),( 4 )]}$, una base di $Q$ è ${[ ( 5 ),( 4 )];[ ( -5 ),( 2 )]}$ e via dicendo.
1) lo spazio vettoriale generato dai vettori è $ V={bar(y)inR^2:bar(y)=alpha[ ( 1 ),( -2 ) ]+beta[ ( -3 ),( 6 )]+delta[ ( 5 ),( 4 ) ]+gamma[ ( -5 ),( 2 ) ], alpha,beta,delta,gammainR} $ .
2) un sottospazio vettoriale generato dai vettori è $ S={bar(x)inR^2:bar(x)=alpha[ ( -3 ),( 6 ) ]+beta[ ( 5 ),( 4 )], alpha,beta,gammainR} $ , ma può anche essere:
- $ Q={bar(x)inR^2:bar(x)=alpha[ ( 5 ),( 4 ) ]+beta[ ( -5 ),( 2 )], alpha,beta,inR} $,
- $ W={bar(x)inR^2:bar(x)=alpha[ ( 1 ),( -2 ) ]+beta[ ( 5 ),( 4 )], alpha,beta,inR} $,
- $ G={bar(x)inR^2:bar(x)=alpha[ ( 1 ),( -2 ) ]+beta[ ( -5 ),( 2 )], alpha,beta,inR} $.
3) una base di $S$ è ${[ ( -3 ),( 6 )];[ ( 5 ),( 4 )]}$, una base di $Q$ è ${[ ( 5 ),( 4 )];[ ( -5 ),( 2 )]}$ e via dicendo.
Risposte
Riguardando l'esercizio ho notato che i vettori $bar(v)$, $bar(z)$ e $bar(t)$ sono tra loro indipendenti, quindi $S$ non avrebbe dovuto includere anche $bar(t)$? Ho qualche dubbio...
"mobley":Davvero?
Riguardando l'esercizio ho notato che i vettori $ bar(v) $, $ bar(z) $ e $ bar(t) $ sono tra loro indipendenti...
Mi prendi per il culo?
No tesoro: non lo faccio con gli sconosciuti!
...e la mia domanda resta in evasa: davvero sei riuscito a trovare tre vettori distinti e linearmente indipendenti in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)?
...e la mia domanda resta in evasa: davvero sei riuscito a trovare tre vettori distinti e linearmente indipendenti in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)?
Sembrava.
In ogni caso, ora che la tua domanda è posta in maniera chiara e non fraintendibile, direi che non possono esistere tre vettori indipendenti in $R^2$ perché avendo una matrice 4x2 avrò al massimo minori 2x2 e quindi al massimo avrò due vettori l.i. tra loro. Per questo all'inizio ho definito tutti quei sottospazi. Tuttavia il dubbio rimane: se considero separatamente $bar(v)$ e $bar(z)$, poi $bar(z)$ e $bar(t)$, e di nuovo $bar(v)$ e $bar(t)$, noto che sono tutti mutuamente indipendenti. Quindi mi chiedevo se in ragione di ciò uno dei sottospazi non potesse essere formato da tutti e tre i vettori assieme, anziché da tre sottospazi contenenti due vettori ognuno. Inoltre, in generale:
- quanti sottospazi di uno spazio vettoriale possono esistere? Se, come in questo caso, ho uno spazio $V$ composto da 4 vettori di $R^2$, esistono al massimo $12$ sottospazi?
- i vettori che compongono ognuno di essi corrispondono sempre ai vettori che ne formano le basi?
In ogni caso, ora che la tua domanda è posta in maniera chiara e non fraintendibile, direi che non possono esistere tre vettori indipendenti in $R^2$ perché avendo una matrice 4x2 avrò al massimo minori 2x2 e quindi al massimo avrò due vettori l.i. tra loro. Per questo all'inizio ho definito tutti quei sottospazi. Tuttavia il dubbio rimane: se considero separatamente $bar(v)$ e $bar(z)$, poi $bar(z)$ e $bar(t)$, e di nuovo $bar(v)$ e $bar(t)$, noto che sono tutti mutuamente indipendenti. Quindi mi chiedevo se in ragione di ciò uno dei sottospazi non potesse essere formato da tutti e tre i vettori assieme, anziché da tre sottospazi contenenti due vettori ognuno. Inoltre, in generale:
- quanti sottospazi di uno spazio vettoriale possono esistere? Se, come in questo caso, ho uno spazio $V$ composto da 4 vettori di $R^2$, esistono al massimo $12$ sottospazi?
- i vettori che compongono ognuno di essi corrispondono sempre ai vettori che ne formano le basi?
Detto terra terra: se tu prendi due vettori linearmente indipendenti in \(\mathbb{R}^2\), questi formano una base, ovvero lo spazio vettoriale che generano è tutto \(\mathbb{R}^2\)!
Riesci a risponderti da solo?
Riesci a risponderti da solo?
Esistono tanti sottospazi vettoriali di $R^2$ tante quante sono le coppie di vettori l.i.?
Se prendi le coppie di vettori l.i. in \(\mathbb{R}^2\), queste generano \(\mathbb{R}^2\)!
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