$dim(Ker[f_alpha])=1$

[mobley]

Data la funzione lineare $f_alpha:R^3->R^3$ associata alla matrice $ A(alpha)=[ ( 3 , alpha , 5 ),( alpha , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 2 ) ] $ determina i valori di $alpha$ tali per cui $dim(Ker[f_alpha])=1$. Poi calcola, per ciascun valore di $alpha$ una base di $Ker[f_alpha]$ e $dim[Ker[f_alpha]$.

Per il teorema della nullità più rango ho che $dim(Im[f_alpha])=R(A_alpha)=2$, che per il minore $ | ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) | $ è vero $ AA alphainR $ . Quindi una base dell'immagine è $ {[ ( alpha ),( 1 ),( 0 ) ];[ ( 5),( 1 ),( 2 ) ] } $, e per Roché-Capelli una base del nucleo è $ {[ ( 1),( 1/2-alpha ),( -1/2 ) ]} $ . Dovrebbe essere corretto...

[Ernesto011]

No, è sbagliato.
Tu hai dimostrato che:
$Dim(Im[f_alpha])=R(A_alpha)>=2$
Devi escludere il caso in cui $R(A_alpha)=3$

[mobley]

Anzitutto grazie per la risposta. Poi è vero, hai ragione.
Per $ A=[ ( 3 , alpha , 5 ),( alpha , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 2 ) ] $ ho che i valori per cui $det(A)=3$ devono essere diversi da $alpha_1!=1$ e $alpha_2!=-1/2$, per cui sapendo che per tali valori $dim(Im[f_alpha])=2$, da cui $dim(Ker[f_alpha])=1$, ho che per $alpha_1=1$ una base di $Im[f_alpha]$ è $ {[ ( 3 ),( 1 ),( 1 ) ] ; [ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] } $. E lo stesso procedimento applico ad $alpha=-1/2$.

[Ernesto011]

Si beh immagino che scrivere $det(A)=3$ sia un errore di distrazione,l'esericizio è giusto.
Per il Ker invece puoi risolvere in qualsiasi modo tu voglia il sistema $A_alpha x=0$

NB: Non ho calcolato i valori per cui il determinante si annulla, confido che i calcoli siano giusti.