Vettori ortogonali e angolo tra vettori

[BruceChetta1]

Ciao a tutti. Ho un problema con un esercizio. Il testo dice : "Tra tutti i vettori ortogonali a $ u= -3j-k $ individuare quelli che formano un angolo di 45º con $ v=-j+k $ .
Ho considerato un generico vettore $ w=(x,y,z) $ e ho applicato la condizione di ortogonalità, cioè $ wu=0 $, determinando come vettori ortogonali a $ u $ quelli così fatti $ w=(0,y,-3y) $. Per quanto riguarda i vettori che formano un angolo di 45º ho applicato la definizione di prodotto scalare $ wv = |w||v|cos(45º) $ , però non sono sicuro sia giusto; Qualcuno potrebbe illustrarmi i passaggi ?( sempre se il procedimento iniziale sia corretto) . Grazie in anticipo

[anto_zoolander]

Benvenuto
Allora,


Prima di tutto hai una base ortonormale per il prodotto scalare?

Poi giustamente calcoli l'ortogonale di $u$ ovvero sia $w(x,y,z)$ un generico vettore
Deve essere $w*u=((x,y,z))((0),(-3),(-1))=0$ sse $z=-3y$

Pertanto le componenti di un generico vettore sono $((x),(y),(-3y))$

Dunque l'ortogonale di $u$ sarà $U=$

Ora dobbiamo trovare un vettore $u inU$ tale che $cos(pi/4)= (v*u)/(|u||v|)$

Quindi deve essere $sqrt2/2 |u||v|=v*u$

Dunque $|v|=sqrt2$, $|u|=sqrt(x^2+10y^2)$ e $v*w=-4y$

Pertanto deve essere $sqrt(x^2+10y^2)+4y=0$ ovvero $x^2-6y^2=0,yleq0$.
Le coordinate degli $u(x,y,-3y)$ devono stare su tale iperbole(che se non erro è degenere)

Per esempio per $y=-1,x=sqrt6$ ottengo $n(sqrt6,-1,3)$

$|v|=sqrt2$ , $|n|=4$ e $v*n=4$

Dunque $theta=arccos(4/(4sqrt2))=arccos(1/sqrt2)=pi/4$

[BruceChetta1]

Perfetto ho capito, grazie.. ma una volta determinato che $ x^2 - 6y^2 =0 $ posso ricavarmi $ x^2 $ , per esempio, e sostituirlo al vettore $ w $ in modo da ricavare il generico vettore che forma l'angolo di 45°?

[anto_zoolander]

Certo, ovviamente otterrai due $x$.
Prova dovrebbe venire

[BruceChetta1]

Grazie gentilissimo