Esercizio sulle coperture di un insieme.
Salve,dopo aver risolto uno degli esercizi del libro,ho pensato di continuare a fare esercizi,giusto per essere sicuro di aver capito bene la teoria;ma il quinto esercizio mi ha fatto sorgere qualche dubbio,circa le coperture di un insieme;se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe aiutarmi?
L'esercizio è questo:
"Siano \( E=(0,1) \) e \( E_n=(1/n,1-1/n) \).
Dimostrare che
\( \cup_{n=3}^{\infty}E_n=E \) e quindi che \( \{E_n\}_{n\geq 3} \) è una copertura di $E$,ma che non ha sottocoperture finite.
"
Per prima cosa ho cercato di capire cosa fosse l'unione degli insiemi della famiglia,e da quello che ho capito dovrebbe essere un sottoinsieme di \( \mathbb{Q} \cap(0,1) \),mentre \( E=\mathbb{R} \cap(0,1) \), e qui vedo che non mi trovo,neanche lontanamente con la traccia,qualcuno potrebbe,per favore,spiegarmi dov'è che ho sbagliato a ragionare?
L'esercizio è questo:
"Siano \( E=(0,1) \) e \( E_n=(1/n,1-1/n) \).
Dimostrare che
\( \cup_{n=3}^{\infty}E_n=E \) e quindi che \( \{E_n\}_{n\geq 3} \) è una copertura di $E$,ma che non ha sottocoperture finite.
"
Per prima cosa ho cercato di capire cosa fosse l'unione degli insiemi della famiglia,e da quello che ho capito dovrebbe essere un sottoinsieme di \( \mathbb{Q} \cap(0,1) \),mentre \( E=\mathbb{R} \cap(0,1) \), e qui vedo che non mi trovo,neanche lontanamente con la traccia,qualcuno potrebbe,per favore,spiegarmi dov'è che ho sbagliato a ragionare?
Risposte
Be' non si capisce perché ti venga $QQ \cap (0,1)$.... per provare che $\bigcup_{n=3}^{\infty}E_n = E$ devi mostrare che valgono le due inclusioni. Fatto questo si può parlare del fatto che sia compatto o meno.
Beh,mi veniva un sottoinsieme di $Q$ intersecato l'intervallo aperto $(0,1)$,perché tutti i numeri nella forma $1/n,1-1/n$,dove $n in NN$ sono numeri razionali.E con questo problema non so come continuare.Per quanto riguarda il secondo punto avevo pensato di usare il teorema di Heine-Borel,per dimostrare che $E$ non fosse compatto.
Mmmm attento a cosa indica la notazione $(1/n , 1-1/n)$...
Per il resto si può fare anche senza Heine-Borel, sarebbe un po' come sparare con un cannone a una mosca se no...
Per il resto si può fare anche senza Heine-Borel, sarebbe un po' come sparare con un cannone a una mosca se no...
scusa in che senso dovrei stare attento alla notazione $(1/n,1-1/n)$,e che vuol dire che usare quel teorema sarebbe come sparare con un cannone a una mosca?
Scusa per le svariate domande,ma ho molti dubbi.
Scusa per le svariate domande,ma ho molti dubbi.
Voglio dire
$(1/n, 1-1/n) = \{ x \in RR : 1/n
Per la seconda domanda, ho scritto così perché Heine-Borel è un risultato potente e l'esercizio si può fare beneissimo senza di esso. Oltretutto siccome ti stai esercitando sulle coperture credo proprio che lo spirito dell'esercizio sia di dimostrare "a mano" che quella copertura non ammette una sottocopertura finita...
$(1/n, 1-1/n) = \{ x \in RR : 1/n
Per la seconda domanda, ho scritto così perché Heine-Borel è un risultato potente e l'esercizio si può fare beneissimo senza di esso. Oltretutto siccome ti stai esercitando sulle coperture credo proprio che lo spirito dell'esercizio sia di dimostrare "a mano" che quella copertura non ammette una sottocopertura finita...
Grazie,penso ora di aver capito,ho fatto lo stupidissimo errore di pensare a quella scrittura come ad una coppia invece che a un intervallo aperto.Per quanto riguarda la restante parte dell'esercizio,proverò a "dimostrare a mano",anche se penso sarà un po' complicato.
Un insieme con 2 elementi di solito si indica con $\{a,b \}$. Se non riesci, chiedi pure!
Grazie nuovamente,tuttavia,provando a dimostrare ritorno sempre al punto di partenza,e quando avevo deciso di adottare la dimostrazione che si usa per Heine-Borel,in un caso meno generale,mi sono trovato di fronte al problema che non so manco come dimostrare tale teorema.Allora ho letto più volte la dimostrazione del teorema che porta il libro,il quale però fa molti passaggi che non mi sono chiari.
Per quanto riguarda il dimostrare che è una copertura sei riuscito?
quella sì,infatti mi è bastato notare che $E_(oo)=E$ e che l'unione di ogni elemento della famiglia con $E$ mi restituiva $E$.
Mmmmmm senza scomodare $E_{\infty}$ puoi notare che
1. Per ogni $n \ge 3$ vale $E_n \subset E$ e dunque $\bigcup_{n=3}^{\infty} \subset E$ (cosa che tu hai scritto in maniera molto complicata dicendo che l'unione di un elemento della famiglia con $E$ è ancora $E$...)
2. Fissato un numero $x \in E$ sia $a \in E$ definito come $a:= \min{x,1-x}$. Sia $k$ la posizione della prima cifra decimale da sinistra di $a$ diversa da $0$, dunque $1/{10^{k+1}} < a$. Posto $n= 10^{k+1}$ si ha quindi che $1/n < a$ e per la definizione di minimo deve valere $1/n < x$ e $1/n < 1-x$ ovvero $1/n < x < 1- 1/n$ cioè $x \in E_n$.
Detto ciò, per la storia del sottoricoprimento, prova per assurdo a supporre che esista un sottoricoprimento finito $E_{a_1}, ..., E_{a_N}$ per qualche $N \in NN$ con $N \ge 3$ che ricopra $E$...
1. Per ogni $n \ge 3$ vale $E_n \subset E$ e dunque $\bigcup_{n=3}^{\infty} \subset E$ (cosa che tu hai scritto in maniera molto complicata dicendo che l'unione di un elemento della famiglia con $E$ è ancora $E$...)
2. Fissato un numero $x \in E$ sia $a \in E$ definito come $a:= \min{x,1-x}$. Sia $k$ la posizione della prima cifra decimale da sinistra di $a$ diversa da $0$, dunque $1/{10^{k+1}} < a$. Posto $n= 10^{k+1}$ si ha quindi che $1/n < a$ e per la definizione di minimo deve valere $1/n < x$ e $1/n < 1-x$ ovvero $1/n < x < 1- 1/n$ cioè $x \in E_n$.
Detto ciò, per la storia del sottoricoprimento, prova per assurdo a supporre che esista un sottoricoprimento finito $E_{a_1}, ..., E_{a_N}$ per qualche $N \in NN$ con $N \ge 3$ che ricopra $E$...
Grazie per l'aiuto.
L'unico assurdo che mi viene in mente è che se fosse finita,dato che tutti gli elementi della successione contengono e sono contenuti in altri elementi;xi sarebbe un insieme $E_(a_(n))$ che contiene tutti gli altri ma non contiene $E_(oo)$ e quindi non può ricoprire $E$.
L'unico assurdo che mi viene in mente è che se fosse finita,dato che tutti gli elementi della successione contengono e sono contenuti in altri elementi;xi sarebbe un insieme $E_(a_(n))$ che contiene tutti gli altri ma non contiene $E_(oo)$ e quindi non può ricoprire $E$.
Ok, ci sei quasi. Detto per bene, se esistesse un sottoricoprimento finito $E_{a_1}, ..., E_{a_N}$ allora, detto $a:= \max{a_1, ..., a_n}$, si avrebbe:
$E = E_{a_1} \cup ... \cup E_{a_N} = E_a$ giacché $E_{a_i} \subset E_a$ per ogni $i = 1, ..., N$.
Ora devi dire perché l'uguaglianza $E=E_a$ è falsa.
$E = E_{a_1} \cup ... \cup E_{a_N} = E_a$ giacché $E_{a_i} \subset E_a$ per ogni $i = 1, ..., N$.
Ora devi dire perché l'uguaglianza $E=E_a$ è falsa.
Allora,una formulazione equivalente del problema,sarebbe quella di dimostrare che $a_i=oo$ è falsa,giusto?
Mah, in un certo senso sì. Secondo me usi con troppa leggerezza il simbolo dell'infinito. Cioè $E_{infty}= (0,1)$ non è manco un elemento della famiglia di sottoinsiemi considerata. Semplicemente equivale a dimostrare che non esiste un $a \in NN$ t.c. $(0,1) \subset (1/a, 1-1/a)$ ovvero che non esiste $a \in NN$ t.c. $1/a \le 0$ che è banalmente vero. E quindi questo insieme non è compatto. Se ti vuoi esercitare su compattezza-Heine Borel secondo me un esempio carino è il seguente
$A= \{ x \in QQ: 0 \le x \le \sqrt{2} \}$ è chiuso e limitato rispetto alla topologia indotta dalla metrica euclidea, ma non è compatto (puoi provare a dimostrarlo).
$A= \{ x \in QQ: 0 \le x \le \sqrt{2} \}$ è chiuso e limitato rispetto alla topologia indotta dalla metrica euclidea, ma non è compatto (puoi provare a dimostrarlo).
Scusa,ma dato che non esiste alcun numero razionale uguale a $sqrt(2)$ non è chiuso e di conseguenza non è compatto.
Perdonami, non so cosa e come tu stia studiando, quindi non vorrei confonderti. Se sai cosa è la topologia indotta da una metrica e la topologia indotta da uno spazio topologico su un suo sottoinsieme allora il mio esercizio ha senso. Altrimenti lascia perdere.
Io topologia lo sto studiando in analisi 1,quindi tali argomenti non vengono approfonditi troppo,so cos'è tuttavia uno spazio metrico,uno normato e uno topologico.
Ah ok! Se è per analisi I lascia perdere, avrai modo di approfondirli in altri corsi questi concetti. Unica cosa, attento che il teorema di Heine-Borel vale solo in $RR^n$.
Grazie di tutto l'aiuto.
Ma perché,funziona solo in $RR^n$?
Ma perché,funziona solo in $RR^n$?
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