Omomorfismi in omologia cellulare
Studiando gli omomorfismi in omologia cellulare si fa sempre uso della nozione di grado di un'applicazione tra sfere; non mi è mai stato dimostrato però che tale concetto ha una definizione ben posta. A parte nel caso della circonferenza che è abbastanza semplice da trattare, nel caso generale non riesco a dimostrare che le applicazioni tra sfere si comportano "come dei rivestimenti" per poter definire il grado come $ #h^(-1)(q) $ .
Qualcuno può aiutarmi dimostrando questo fatto o suggerendomi una definizione alternativa (che non sia quella data a partire dai gruppi di omologia che già conosco) più semplice da trattare?
Qualcuno può aiutarmi dimostrando questo fatto o suggerendomi una definizione alternativa (che non sia quella data a partire dai gruppi di omologia che già conosco) più semplice da trattare?
Risposte
Il teorema di Hopf può aiutarmi in qualche modo?
Non mi è chiara la domanda, chi è $h$ e cosa vuoi sapere? Esiste una definizione non-omologica del grado di una mappa tra varietà (data da Hadamard e Brouwer), ma non vedo l'utilità di usarla perché è piuttosto involuta e oscura ciò che invece l'approccio omologico rende abbastanza evidente (ovvero l'invarianza del grado rispetto a omotopie, che è quanto di piu vicino a "essere una definizione ben posta" mi viene da pensare 
).
Un luogo dove puoi trovare una definizione alternativa a quella mediante l'omologia è il libro di Milnor "Topology from a differential viewpoint". Lì si dice che data \( f : S^n \to S^n\) il suo grado ad un punto regolare $p\in S^n$ si ottiene prendendo la somma
\[
\sum_{x\in f^\leftarrow p} \text{sgn } {\rm d}f_x
\]
(questa somma ha senso e non dipende da $p$ finché esso è regolare).
Incidentalmente ti segnalo che esiste una dimostrazione elementare del teorema di Hopf (il grado determina univocamente la classe di omotopia di una mappa tra sfere, cosicché $[S^n,S^n]\cong \mathbb Z$ senza dover fare il conto di $\pi_n(S^n)$). Si tratta dell'esercizio 4.1.15 a pagina 359.
).Un luogo dove puoi trovare una definizione alternativa a quella mediante l'omologia è il libro di Milnor "Topology from a differential viewpoint". Lì si dice che data \( f : S^n \to S^n\) il suo grado ad un punto regolare $p\in S^n$ si ottiene prendendo la somma
\[
\sum_{x\in f^\leftarrow p} \text{sgn } {\rm d}f_x
\]
(questa somma ha senso e non dipende da $p$ finché esso è regolare).
Incidentalmente ti segnalo che esiste una dimostrazione elementare del teorema di Hopf (il grado determina univocamente la classe di omotopia di una mappa tra sfere, cosicché $[S^n,S^n]\cong \mathbb Z$ senza dover fare il conto di $\pi_n(S^n)$). Si tratta dell'esercizio 4.1.15 a pagina 359.
La mia domanda nasceva dal fatto che bisogna ricorrere necessariamente all'omologia quando il significato geometrico della definizione di grado è molto più intuitivo (anche se molto più scomodo) essendo strettamente legato, credo, al grado del rivestimento.
Usando il teorema di Hopf mi è venuto in mente che data una funzione di un certo grado, esiste sempre una particolare funzione di quel grado che si comporta come le funzioni $ *n $ da $ mathbb(S^1) $ in $ mathbb(S^1) $ e per le quali $ deg(f)=#f^(-1)(q) $ per $ qinmathbb(S)^n $. E' corretto?
Usando il teorema di Hopf mi è venuto in mente che data una funzione di un certo grado, esiste sempre una particolare funzione di quel grado che si comporta come le funzioni $ *n $ da $ mathbb(S^1) $ in $ mathbb(S^1) $ e per le quali $ deg(f)=#f^(-1)(q) $ per $ qinmathbb(S)^n $. E' corretto?
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