Generatori e basi
Una domanda che non riesco a risolvere. potreste dirmi la differenza tra basi e generatori??? non la riesco a capire.... sarebbero utili anche esempi per far capire il concetto
Risposte
I generatori sono quei vettori (non per forza minimali) che generano uno spazio vettoriale.
Una base è costituita da generatori linearmente indipendenti.
Facile esempio: considera $V=<(1,0),(2,0)>$ questi sono due generatori. Sono ovviamente linerarmente dipendenti, per cui non sono una base.
Scartiamo uno linearmente dipendente ed otteniamo così $V=<(1,0)>$. In questo caso oltre ad essere un genertore è linearmente indipendente (in quanto non nullo) e pertanto è una base di $V$.
Spero di essere stato chiaro.
Una base è costituita da generatori linearmente indipendenti.
Facile esempio: considera $V=<(1,0),(2,0)>$ questi sono due generatori. Sono ovviamente linerarmente dipendenti, per cui non sono una base.
Scartiamo uno linearmente dipendente ed otteniamo così $V=<(1,0)>$. In questo caso oltre ad essere un genertore è linearmente indipendente (in quanto non nullo) e pertanto è una base di $V$.
Spero di essere stato chiaro.
si ok! l'unica cosa che a questo punto mi chiedo è come faccio a dimostrare che sono generatori??... poi casomai mi puoi anche dare un esercizio così lo svolgo e scrivo la soluzione così vedo se ho capito??
p.s. scusa il disturbo
p.s. scusa il disturbo
Ma la questione francamente non si pone. Nel senso che se hai uno spazio scritto in questo maniera $V=$, allora sai automaticamente che quelli sono generatori.
Se invece hai un generico spazio descritto tramite equazioni allora basterà estrarre una sua base per ottenere automaticamente i suoi (dello spazio) generatori.
Se invece hai un generico spazio descritto tramite equazioni allora basterà estrarre una sua base per ottenere automaticamente i suoi (dello spazio) generatori.
nel mio libro ci sono esempi in cui chiede di dimostrarlo....
dimostrare che i vettori sono un sistema di generatori di $RR^3$
S=${v_1=(0,1,1),v_2=(1,0,2)}
s=${v_1=(1,0,1),V_2=(0,1,0),v_3=(1,1,1)}
nel libro per dimostrarlo applica la regola $(a,b,c)=\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2
risolvendo il sistema della prima ottiene $2a+b=c
e conclude che non è un sistema di generatori
dalla seconda ottiene $\lambda_1=a-c, \lambda_2=b-c, \lambda_3=c
e conclude che è un sistema di generatori
perchè arriva a quelle conclusioni???
dimostrare che i vettori sono un sistema di generatori di $RR^3$
S=${v_1=(0,1,1),v_2=(1,0,2)}
s=${v_1=(1,0,1),V_2=(0,1,0),v_3=(1,1,1)}
nel libro per dimostrarlo applica la regola $(a,b,c)=\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2
risolvendo il sistema della prima ottiene $2a+b=c
e conclude che non è un sistema di generatori
dalla seconda ottiene $\lambda_1=a-c, \lambda_2=b-c, \lambda_3=c
e conclude che è un sistema di generatori
perchè arriva a quelle conclusioni???
E' un altro modo (più contoso) per risolvere l'esercizio.
Praticamente dimostra che non è possibile fare tutte le combinazioni lineari. O nel secondo caso che è possibile.
Ma esiste un modo, basato su ciò che ti ho scritto sopra, molto più semplice ed immediato.
Essendo la base un sistema minimale di generatori (vuol dire il minimo numero di vettori che generano quello spazio, ovvero toltone uno a caso questi non generano più lo stesso spazio), ed avendo $RR^3$ dimensione $3$, è ovvio che $2$ vettori non potranno mai generare quello spazio.
Analogamente, presi $3$ vettori linearmente indipendenti, in uno spazio di dimensione $3$, hai automaticamente che essi formano una base e quindi sono anche un sistema di generatori.
Praticamente dimostra che non è possibile fare tutte le combinazioni lineari. O nel secondo caso che è possibile.
Ma esiste un modo, basato su ciò che ti ho scritto sopra, molto più semplice ed immediato.
Essendo la base un sistema minimale di generatori (vuol dire il minimo numero di vettori che generano quello spazio, ovvero toltone uno a caso questi non generano più lo stesso spazio), ed avendo $RR^3$ dimensione $3$, è ovvio che $2$ vettori non potranno mai generare quello spazio.
Analogamente, presi $3$ vettori linearmente indipendenti, in uno spazio di dimensione $3$, hai automaticamente che essi formano una base e quindi sono anche un sistema di generatori.
Salve! Chiedo scusa se mi inserisco ora ma avevo lo stesso dubbio.
Mi chiedo, se dovessi risolvere un esercizio che dice "trova una base, un sistema di generatori, un sistema di vettori linearmente dipendenti di R4"?
Ora, per la differenza tra basi e generatori va bene. Quello che mi chiedo, nel sistema di generatori posso inserire qualsiasi vettore? Cioè come faccio a dire "ok questo è un generatore"?
E ancora come faccio a sapere che il sistema di linearmenti indipendenti che sto considerando non è una base?
Mi chiedo, se dovessi risolvere un esercizio che dice "trova una base, un sistema di generatori, un sistema di vettori linearmente dipendenti di R4"?
Ora, per la differenza tra basi e generatori va bene. Quello che mi chiedo, nel sistema di generatori posso inserire qualsiasi vettore? Cioè come faccio a dire "ok questo è un generatore"?
E ancora come faccio a sapere che il sistema di linearmenti indipendenti che sto considerando non è una base?
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