Prodotti scalari
Salve a tutti
Ho problemi a dimostrare la seguente cosa:
Sia $V$ spazio vettoriale di dimensione finita reale. Sia $\psi$ un prodotto scalare.
Definisco $\phi_{f}(v,w)=\psi(v,w)+\psi(f(v),f(w))$ un prodotto scalare dove $f$ è un endomorfismo invertibile.
Sapendo che se $\psi$ è semi definito positivo allora lo è anche $\phi_{f}$ e $rk(\phi_{f})\geq rk(\psi)$.
Sapendo che se $\psi$ è non degenere allora $i_{+}(\phi_{f})\geq i_{+}(\psi)-i_{-}(\psi)$.
Voglio dimostrare che se $\psi$ è non degenere e non definito allora esiste una $f$ invertibile per cui $\phi_{f}$ è non degenere e vale che $i_{+}(\phi_{f})=i_{+}(\psi)+1$.
Ho provato a restringere $\psi$ al più grande sottospazio su cui la sua restrizione è definita positiva.
Lì potevo usare il teorema di ortogonalizzazione simultanea ed esprimendo la $f$ e i prodotti scalari (ristretti) come matrici riuscivo a dire che $i_{+}(\phi_{f})\geq i_{+}(\psi)$ su tutto $V$ perché sono uguali su un sottospazio non banale (il massimo su cui $\psi$ è def positivo).
Questo indipendentemente dalla $f$ purché fosse invertibile.
Non sono riuscito ad andare oltre. Mi basta anche un suggerimento. Grazie mille in anticipo.
Ho problemi a dimostrare la seguente cosa:
Sia $V$ spazio vettoriale di dimensione finita reale. Sia $\psi$ un prodotto scalare.
Definisco $\phi_{f}(v,w)=\psi(v,w)+\psi(f(v),f(w))$ un prodotto scalare dove $f$ è un endomorfismo invertibile.
Sapendo che se $\psi$ è semi definito positivo allora lo è anche $\phi_{f}$ e $rk(\phi_{f})\geq rk(\psi)$.
Sapendo che se $\psi$ è non degenere allora $i_{+}(\phi_{f})\geq i_{+}(\psi)-i_{-}(\psi)$.
Voglio dimostrare che se $\psi$ è non degenere e non definito allora esiste una $f$ invertibile per cui $\phi_{f}$ è non degenere e vale che $i_{+}(\phi_{f})=i_{+}(\psi)+1$.
Ho provato a restringere $\psi$ al più grande sottospazio su cui la sua restrizione è definita positiva.
Lì potevo usare il teorema di ortogonalizzazione simultanea ed esprimendo la $f$ e i prodotti scalari (ristretti) come matrici riuscivo a dire che $i_{+}(\phi_{f})\geq i_{+}(\psi)$ su tutto $V$ perché sono uguali su un sottospazio non banale (il massimo su cui $\psi$ è def positivo).
Questo indipendentemente dalla $f$ purché fosse invertibile.
Non sono riuscito ad andare oltre. Mi basta anche un suggerimento. Grazie mille in anticipo.
Risposte
Credo di aver risolto così (confermate per piacere se potete)
Ho scritto $\phi_f$ in una base di Sylvester ${v_1,...,v_n}$ per $\psi$ scrivendone le matrici che lo caratterizzano.
Come matrice di $f$,scritta nella base di Sylvester ho preso quella che manda:
$v_k$ in $v_k + 2v_{k+1}$
$v_{k+1}$ in $v_k + v_{k+1}$
dove $k=i_{+}(\psi)$ e tutti gli altri vettori in sé stessi.
(${v_1,...,v_k}$ base del sottospazio più grande su cui la restrizione è def pos.
${v_{k+1},...,v_n}$ base del più grande su cui la restrizione è def neg.)
La scelta di questi assegnamenti è stata "ad hoc". Non ho trovato un modo più sistematico di questo.
Facendo così a me viene la tesi.
Ho scritto $\phi_f$ in una base di Sylvester ${v_1,...,v_n}$ per $\psi$ scrivendone le matrici che lo caratterizzano.
Come matrice di $f$,scritta nella base di Sylvester ho preso quella che manda:
$v_k$ in $v_k + 2v_{k+1}$
$v_{k+1}$ in $v_k + v_{k+1}$
dove $k=i_{+}(\psi)$ e tutti gli altri vettori in sé stessi.
(${v_1,...,v_k}$ base del sottospazio più grande su cui la restrizione è def pos.
${v_{k+1},...,v_n}$ base del più grande su cui la restrizione è def neg.)
La scelta di questi assegnamenti è stata "ad hoc". Non ho trovato un modo più sistematico di questo.
Facendo così a me viene la tesi.
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