Ancora matrici trasposte

[zio_mangrovia]

dato il seguente teorema:

sia $AinCC^(MxN)$ allora :

$(Ax)y=x(A$*$y)$
$AAx$ $inCC^N$ $AAy$ $inCC^M$

[*:2my2pn62] $x$ deve essere interpretato come $x in CC^(Nx1)$ invece di $x in CC^N$ e $y$ come $y in CC^(1xM)$ invece di $y in CC^M$ ?[/*:m:2my2pn62]
[*:2my2pn62] $x$ è il vettore colonna e $y$ il vettore riga ? Ma come distinguerli se non presente il valore unitario ?

$(Ax)inCC^(Mx1)$ ma se la scrivessi p.e. come matrice $ZinCC^M$ mi creo confusione perché non riuscirei a capire se si riferisce al vettore riga o colonna.
[/*:m:2my2pn62][/list:u:2my2pn62]

[scarpma]

Non ho ben capito quali sono i tuoi problemi. Gli insiemi $CC^N$ o $CC^{Nx1}$ sono esattamente uguali, l'unica cosa che cambia è la notazione. Il teorema in questione è relativo all'aggiunta di un'applicazione lineare?

Forse i tuoi problemi sono dovuti al fatto che nella formula data dal teorema non sono presenti le trasposizioni dove necessarie. Io, se ho ragione ed il teorema in questione si riferisce all'aggiunta di un'applicazione, lo riformulerei così (nei reali, ma credo che valga lo stesso per i complessi:

Sia $A \in RR^{mxn}$. Si ha che $(L_A)^\ast=L_{A^T}$.
Infatti, vale che
$
\langle L_A(x),y \rangle = \langle x, (L_A)^\ast(y)\rangle
$
e quindi
$
\langle L_A(x),y\rangle=y^TAx=(A^Ty)^Tx=\langle x,L_{A^T}(y)\rangle
$
Dove $L_A$ è l'applicazione lineare associata alla matrice $A$ e $L_A^\ast$ è l'aggiunta di $L_A$. Inoltre $x\in RR^N$ e $y \in RR^M$ sono le cordinate rispetto ad una base... blablabla

[zio_mangrovia]

Non ho ben compreso se nella formula si parla di vettori colonna o riga ma i miei dubbi sono dovuti alle mie carenze che sto cercando di colmare:

Il prodotto tra matrici è contemplato se il numero di colonne della prima matrice è uguale a quello delle colonne della seconda per cui nel termine di sinistra dell'uguaglianza $x$$inCC^(Nx1)$ che è un vettore colonna, ma tu dici che posso scriverlo anche come $CC^N$; mi chiedo se questo $CC^N$ può essere scritto anche come $x$ $inCC^(1xN)$ cioè come vettore riga, se così fosse come si deve interpretare? Come vettore riga o colonna? L'interpretazione deve essere data in base al contesto in cui si trova, cioè in base alla dimensione della matrice con la quale è moltiplicato ed in base alla posizione che occupa nel prodotto.


Dove sbaglio?

[scarpma]

Innanzitutto il prodotto tra matrici é possibile se il numero di colonne della prima é uguale a quello di righe della seconda. Poi se un vettore é riga o colonna non dipende dal vettore stesso, dipende solo dal posto che occupa nell'espressione. Un vettore di per sé non é né riga né colonna. Il fatto é che quando moltiplichi due vettori tra di loro, usi il cosí detto prodotto "riga per colonna" e dunque formalmente il primo deve essere a riga ed il secondo a colonna. Dimmi se hai capito e se hai bisogno di altri chiarimenti.

[zio_mangrovia]

"scarpma":Innanzitutto il prodotto tra matrici é possibile se il numero di colonne della prima é uguale a quello di righe della seconda.

Ho sbagliato a scrivere volevo scrivere n° colonne=n°righe

Poi se un vettore é riga o colonna non dipende dal vettore stesso, dipende solo dal posto che occupa nell'espressione. Un vettore di per sé non é né riga né colonna.

Esempio:

[*:2mg5d56u]se ho $AinCC^(MxN)$ e $BinCC^N$, nel prodotto $AB$ il vettore B lo posso considerare come vettore colonna cioè $BinCC^(Nx1)$ [/*:m:2mg5d56u]
[*:2mg5d56u]se ho $AinCC^(MxN)$ e $BinCC^M$, nel prodotto $BA$ il vettore B lo posso considerare come vettore riga cioè $BinCC^(1xM)$ [/*:m:2mg5d56u][/list:u:2mg5d56u]
Corretto?

[scarpma]

Si è corretto (ovviamente scrivere $BA$ nel secondo caso non ha senso a meno che aggiungi un altro vettore $C \in CC^{N}$ colonna a destra di $A$).