Determinare base e dimensione di im f e ker f

[giuseppeferrara96]

Ciao a tutti,
ho un problemino con un esercizio. Mi viene assegnato il seguente endomorfismo su R3
$ f(e1)=4e1-e2+2e3 $
$ f(e2)=ke2 $
$ f(e3= e1 - e2 + 5e3 $
dove k è un parametro reale.
mi viene chiesto di determinare base e immagine di im f e ker f, io ho pensato di procedere cosi.
Determino la matrice associata A : $ ( ( 4 , 0 , 1 ),( -1 , 0 , -1 ),( 2 , 0 , 5 ) ) $ dove nel centro ci dovrebbe essere k che è pari a 0. essendo il rango di A la dimensione di im f è pari a 2, e scelgo come base la prima e terza colonna, non potendo scegliere quella nulla. nel determinare ker f mi viene che il sistema ammette solo la soluzione banale, ma la dimensione non dovrebbe essere 1? con la base come faccio?
Grazie.

[Vicia]

Se ricordi la definizione di nucleo, capisci subito che una base del tuo nucleo sia $e_2$. Il nucleo comprende tutti quei vettori che ti diano immagine nulla. Quindi concludi facilmente che sia questo vettore, poichè la sua immagine è nulla. Per la dimensione basta utilizzare il teorema della dimensione e vedi che è uguale ad 1

[giuseppeferrara96]

Grazie mille!!
Mi doveva infatti venire 1 perché avevo applicato il teorema della dimensione.

[Vicia]

Di nulla