Spazio vettoriale polinomi con parametro procedimento
Sia $ V $ lo spazio vettoriale reale dei polinomi di terzo grado e si consideri l'insieme:
$ B={2X^2 - 2X - 1, X^3 -2X +1, hX -2h} $ con h in R.
1) Determinare per quali valori di h la dimensione di B è 2.
2) Posto h= -2 completare B a una base di V
1) Allora prima di tutto andrei a considerare lo spazio vettoriale come $ R^4 $ e costruirei la matrice definita dall'insieme, se questa matrice ha rango 2 allora la dimensione è 2 giusto? Riducendo la matrice a scalini mi trovo:
$ ( ( -1 , 1 , -2h ),( 0 , -4 , 5h ),( 0 , 0 , -3h ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
quindi il valore di h per cui il rango è pari a 2 è h=0 .
Il procedimento è giusto? O vi sono altri modi ?
Per quanto riguarda il secondo punto invece come bisogna procedere?
$ B={2X^2 - 2X - 1, X^3 -2X +1, hX -2h} $ con h in R.
1) Determinare per quali valori di h la dimensione di B è 2.
2) Posto h= -2 completare B a una base di V
1) Allora prima di tutto andrei a considerare lo spazio vettoriale come $ R^4 $ e costruirei la matrice definita dall'insieme, se questa matrice ha rango 2 allora la dimensione è 2 giusto? Riducendo la matrice a scalini mi trovo:
$ ( ( -1 , 1 , -2h ),( 0 , -4 , 5h ),( 0 , 0 , -3h ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
quindi il valore di h per cui il rango è pari a 2 è h=0 .
Il procedimento è giusto? O vi sono altri modi ?
Per quanto riguarda il secondo punto invece come bisogna procedere?
Risposte
Sei hai svolto bene i calcoli il procedimento è corretto.
Per il punto 2, sostituisci il valore di h. Dopo di che vedi se la matrice ha rango max e quindi i vettori sono tutti linearmente indipendenti, in questo caso devi procedere tramite il completamento delle basi. Consiste nell'individuare uno o più vettori che siano linearmente indipendenti con i vettori già presenti nel tuo spazio. Per farlo utilizza i vettori della base canonica. E ovviamente per completare la base si intende di individuare un sistema di generatore del tuo spazio in questo caso $RR^4$ e quindi devi aggiungere un solo vettore ai tuoi tre già presenti(se linearmente indipendenti per h=2) perchè la dimensione del tuo spazio è $4$.
Per il punto 2, sostituisci il valore di h. Dopo di che vedi se la matrice ha rango max e quindi i vettori sono tutti linearmente indipendenti, in questo caso devi procedere tramite il completamento delle basi. Consiste nell'individuare uno o più vettori che siano linearmente indipendenti con i vettori già presenti nel tuo spazio. Per farlo utilizza i vettori della base canonica. E ovviamente per completare la base si intende di individuare un sistema di generatore del tuo spazio in questo caso $RR^4$ e quindi devi aggiungere un solo vettore ai tuoi tre già presenti(se linearmente indipendenti per h=2) perchè la dimensione del tuo spazio è $4$.
Va bene, grazie 
Di nulla 
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