Derivate di una curva e punti singolari e stazionari
Salve ragazzi, mi chiamo Andrea e da poco ho deciso, un pò per divertimento un pò per nostalgia, a riprendere in mano alcuni problemi riguardante la matematica.
Ma dall'ultima volta che ho preso in mano i libri son passati circa 9 anni ! Quindi non ricordo alcune cose che probabilmente prima erano scontate. Quindi vorrei, se possibile, interpellarvi e chiedervi alcuni chiarimenti. Premetto di aver cercato in rete da diversi giorni una soluzione al mio quesito ma, purtroppo, non ho trovato nulla... e molto probabilmente è perché è veramente semplice o non sto cercando bene.
Dunque mi riferisco ad una curva e avendo la rappresentazione parametrica, l' esercizio mi chiede di trovare alcune cose :
x = e^t − t
y = 2t^2
z=1
1) i punti singolari della curva.
Da quello che ricordo devo derivare alla prima, alla seconda e alla terza .
E il risultato che mi si prospetta è :
d' γ' : x'= e^t-1 y'= 4t z'= 0
d'' γ'' : x'' =e^t y''=4 z''=0
d''' γ''': x'''=e^t y'''=0 z'''=0
Adesso per avere i punti singolari devo mettere a sistema la prima derivata e porli = 0
e^t-1=0
4t=0
0=0
Da qui scopro che t=0.
Fin qui è tutto chiaro (spero di non sbagliare ahahah) ma ora come proseguo ???
Riguardando l'esercizio svolto da un'altra persona (una professoressa) leggo che l'unico punto singolare è la derivata di (0) ... che ha come risultato γ(0)= (1, 0, 1).
La mia domanda è... come ha fatto a calcolare questo punto γ(0) = (1, 0, 1) ? da dove lo ha tirato fuori ? Qual'è il calcolo da fare per arrivare a queste coordinate ?
2) da qui dovrei calcolare le coordinate del punto Q = γ(0) e il vettore γ '(0)
Qui non ho chiaro invece assolutamente nulla.
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto, saluti Andrea
Ma dall'ultima volta che ho preso in mano i libri son passati circa 9 anni ! Quindi non ricordo alcune cose che probabilmente prima erano scontate. Quindi vorrei, se possibile, interpellarvi e chiedervi alcuni chiarimenti. Premetto di aver cercato in rete da diversi giorni una soluzione al mio quesito ma, purtroppo, non ho trovato nulla... e molto probabilmente è perché è veramente semplice o non sto cercando bene.
Dunque mi riferisco ad una curva e avendo la rappresentazione parametrica, l' esercizio mi chiede di trovare alcune cose :
x = e^t − t
y = 2t^2
z=1
1) i punti singolari della curva.
Da quello che ricordo devo derivare alla prima, alla seconda e alla terza .
E il risultato che mi si prospetta è :
d' γ' : x'= e^t-1 y'= 4t z'= 0
d'' γ'' : x'' =e^t y''=4 z''=0
d''' γ''': x'''=e^t y'''=0 z'''=0
Adesso per avere i punti singolari devo mettere a sistema la prima derivata e porli = 0
e^t-1=0
4t=0
0=0
Da qui scopro che t=0.
Fin qui è tutto chiaro (spero di non sbagliare ahahah) ma ora come proseguo ???
Riguardando l'esercizio svolto da un'altra persona (una professoressa) leggo che l'unico punto singolare è la derivata di (0) ... che ha come risultato γ(0)= (1, 0, 1).
La mia domanda è... come ha fatto a calcolare questo punto γ(0) = (1, 0, 1) ? da dove lo ha tirato fuori ? Qual'è il calcolo da fare per arrivare a queste coordinate ?
2) da qui dovrei calcolare le coordinate del punto Q = γ(0) e il vettore γ '(0)
Qui non ho chiaro invece assolutamente nulla.
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto, saluti Andrea
Risposte
Ciao Andrea! Benvenuto nel forum! E' il tuo primo messaggio, per il prossimo ricorda di mettere il simbolo del dollaro ad inizio e fine relazione, in maniera tale da essere più comprensibile la scrittura.
Quando il testo ti chiede di individuare i punti singolari, ti sta chiedendo di studiare la regolarità o meno della curva. Ricorda, una curva è regolare se la derivata prima delle sue componenti non si annulla mai. Nel caso in cui noti che la derivata prima delle componenti si annullino tutte in uno o più punti quel punto prenderà il nome di punto singolare. Per individuarlo basta calcolarti : $r(t_0)$ Questo sarà il tuo punto singolare.
Quando il testo ti chiede di individuare i punti singolari, ti sta chiedendo di studiare la regolarità o meno della curva. Ricorda, una curva è regolare se la derivata prima delle sue componenti non si annulla mai. Nel caso in cui noti che la derivata prima delle componenti si annullino tutte in uno o più punti quel punto prenderà il nome di punto singolare. Per individuarlo basta calcolarti : $r(t_0)$ Questo sarà il tuo punto singolare.
"Vicia":
Ciao Andrea! Benvenuto nel forum! E' il tuo primo messaggio, per il prossimo ricorda di mettere il simbolo del dollaro ad inizio e fine relazione, in maniera tale da essere più comprensibile la scrittura.
Quando il testo ti chiede di individuare i punti singolari, ti sta chiedendo di studiare la regolarità o meno della curva. Ricorda, una curva è regolare se la derivata prima delle sue componenti non si annulla mai. Nel caso in cui noti che la derivata prima delle componenti si annullino tutte in uno o più punti quel punto prenderà il nome di punto singolare. Per individuarlo basta calcolarti : $r(t_0)$ Questo sarà il tuo punto singolare.
Ti ringrazio per la risposta, sei stato molto gentile.
Ma non ho ben chiaro cosa intendi con $r(t_0)$
Devo sostituire t=0 all'interno della x, y, z ?
Potresti farmi un esempio correlato sul mio ? Te ne sarei molto grato !
Allora il tuo punto in cui le derivate delle componenti della tua curva si annullano è zero, quindi per trovare il punto singolare vai a sostituire zero alla tua curva iniziale. Qui il tuo punto singolare sarà : $r(t_0)=(1,0,1)$
"Vicia":
Allora il tuo punto in cui le derivate delle componenti della tua curva si annullano è zero, quindi per trovare il punto singolare vai a sostituire zero alla tua curva iniziale. Qui il tuo punto singolare sarà : $r(t_0)=(1,0,1)$
$r(t_0)=(1,0,1)$
Sostituendo zero alla curva iniziale che era :
$x=e^t-t$ = 1
$y=2t^2$ = 0
$z=1$ = 1
intendi questo vero ?
Esatto
"Vicia":
Esatto
Perfetto, ti ringrazio tantissimo
Di nulla!
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