Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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La figura è la seguente:
Devo calcolare il momento d'inerzia della superficie A1 (metà cerchio) rispetto ad una retta parallela alla retta R.D.S., ma passante per il baricentro B1.
La soluzione del libro dice $I=((pi/8)-(8/9pi))R^4$ ma non capisco da dove si ricavano questi valori e il perchè del segno meno.
Salve,
Stavo cercando su google risposte alla mia domanda, che non ho trovato,ma in compenso ho trovato questo forum e ho deciso di provare a chiedere la mia stupida domanda a voi.
Non ho capito come si parametrizzi una ellisse, faccio un esempio per semplificare:
SI abbia (x - 1)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1
Diventa
{3 Cos[t] + 1, 2 Sin[t] - 1}, facendo variare t: {t, 0, 2 Pi}
Stavo usando wolfram alpha, non capisco perché intuitivamente (e anche rigorosamente poi) diventino a^2 (=9) e b^2(=4) a ...
Salve, sto avendo difficolta a capire come impostare questo esercizio, o meglio sono molto insicuro sullo svoligmento che ho fatto:
1)Siano \( f_t:R^3\longrightarrow R^2 \) e \( g_t:R^2\longrightarrow R^3 \) applicazioni lineari così definite:
\( f_t (e_1)=e'_1,f_t(e_2)=-e'_1+te'_2,f_t(e_3)=2e'_1+e'_2 \)
\( g_t (e'_1)=te_1+(2t+1)e_3,g_t(e'_2)=e_1-e_2+2e_3 \)
Avendo indicato con $B=(e_1,e_2,e_3)$ e $B'=(e'_1,e'_2)$ rispettivamente le basi canoniche di $R^3$ e ...
Salve, ho provato a svolgere questo esercizio d'esame, senza successo... : dato $ Vin R2*2 $ costituito dalle matrici A tale che (scusatemi non riesco a fare i pedici di 2x2) :
$ A( ( 1 , -2 ),( -3 , 6 ) ) =( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ determinane dimensione e base. Inoltre dato $ Uin R2*2 $ generato da:
$ U=( ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) ,( ( -1 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $ (non riesco a fare le graffe...) determinarne base e dimensione di $ Unn V $ ed $ U+ V $
ho pensato di fare $ ( ( x , y ),( z , w ) ) ( ( 1 , -2 ),( -3 , 6 ) ) =( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
e da qui $ { ( x-2y=0 ),( -3z+6w=0 ):} rArr { ( x=2y ),( z=2w ):} $ così ...
Ciao a tutti, potreste verificare la correttezza di questo esercizio, per favore?
Io ho un'applicazione lineare $ f: R^3->R^3 $ così definita
$ f(e_1)=5e_1+e_2-3e_3, f(e_2)=3e_2+te_3, f(e_3)=e_2+2e_3 $
e devo studiarne la diagonalizzabilità al variare di $ t $.
So come procedere, il problema è che non so se mi trovo con un risultato giusto alla fine.
Ho scritto la matrice associata e ho calcolato gli autovalori ponendo il determinante uguale a 0; questi sono:
$ lambda_1=5, lambda_2=(5+sqrt(4t+1))/2, lambda_3=(5-sqrt(4t+1))/2 $
Per essere diagonalizzabile, devono esserci ...
Salve,
sto studiando per l'esame di geometria e algebra lineare, e attualmente ho qualche difficoltà con la somma e l'intersezione di sottospazi vettoriali.
Qui di seguito vi propongo un esercizio che ho svolto, potrei sapere se è stato svolto in maniera corretta?
Nello spazio vettoriale $ R^4 $ si considerino i seguenti sottospazi:
$A= {(x1,x2,x3,x4):x1-x2-x3=0; x1-x4=0} $
$ B= <(1,2,0,1),(1,1,0,1)> $
La prima cosa che ho fatto è stata determinare i generatori del sottospazio A, ottenendo ...
[mod="Steven"]Come leggerete tra poco, questo topic si ripropone di raccogliere materiale libero in rete.
Sarebbe ideale se, per ogni segnalazione, fossero riportati:
- autore
- corso di laurea, sede
- sito web "madre", se esiste
- un piccolo commentino non ci starebbe male
Grazie per ogni contributo!
[/mod]
In questo topic vorremmo raccogliere un po' di link a varie dispense e appunti liberi presenti in rete riguardo vari argomenti di Geometria: chiunque è a conoscenza di materiale ...
Scusa la domanda banale ma una retta rispetto al piano può:
appartenere al piano (il piano la comprende)
essere incidente quindi la retta interseca il piano in un punto
parallela (non interseca mai il piano ed è parallela al piano)
sghemba !??! Non riesco a capire come una retta possa essere sghemba rispetto ad un piano....
Salve buongiorno, faccio appello al forum in quanto lavorando per la tesi mi sono imbattuto nel logaritmo di una matrice singolare. Ovviamente tale operazione non è possibile, tuttavia ho letto che è possibile effettuare un operazione di "Quasi-Logaritmo" su di una matrice singolare (vi posto il riferimento)
http://www.numdam.org/article/ASNSP_195 ... _373_0.pdf
Il problema è che a pag 385, equazione (4.1) vi è una decomposizione della matrice in parte principale e parte complementare. In cosa consiste questa decomposizione? Ho ...
Salve ragazzi stavo affrontando un esercizio sulla somma diretta ed ho notato che nella soluzione di esso nel momento in cui viene fatta la combinazione lineare essa ha un componente con segno negativo che non capisco come mai si metta con segno negativo. Ora vi riporto il tutto:
"al variare del parametro h ∈ R sono dati i sottospazi dello spazio vettoriale numerico R^4"
V(h) = L[(0,1-h,-2,-h),(1,-1,0,-1),(h,-1,-2,0)]
"Stabilire per quali valori la somma V(h)+L[(2,-3,-4,-1)] non è diretta e ...
Data la trasformazione
$ f(x,y) = (x+y+1, x-y) $
determinare se è lineare.
Io ho studiato se rispetta le operazioni di somma e prodotto per scalare e ho determinato che non è lineare.
Però se volessi trasformare la definizione di questa trasformazione in modo tale che mi venga nella forma
$ f(x,y) = {(x,y,z) | f1 = f2 = 0} $
con le equazioni f1, f2 in modo tale da vedere se queste sono omogenee e di primo grado, come devo fare?
Sto cercando di capire questa dimostrazione:
un operatore lineare $A:X->X$ è diagonalizzabile se esiste una base di $X$ costituita da autovettori di $A$:
se $A$ è diagonalizzabile esisterà una matrice cambio di base $M$ tale che $M^(-1)AM$ è diagonale e da ciò segue che applicandola alla base canonica $e_1,...,e_n$ risulta:
$(M^(-1)AM)e_i=\lambda_ie_i$
poi prosegue moltiplicando a sinistra per $M$...
non ...
I sottospazi di $RR^3$ $X = ⟨(1,2,0),(2,3,2)⟩$ e $Y = ⟨(0,−1,2),(1,1,2)⟩$ verificano:
$A:X=Y$
$B:N.A.$
$C:X∩Y!=X$
$D:X⊂Y$
$E:X∩Y!=Y$
Per prima cosa mi studio il seguente sistema lineare per capire se l'intersezione è vuota o no, cioè se generano un sottospazio vettoriale che è comune ad entrambi:
$x_1[[1],[2],[0]]+x_2[[2],[3],[2]]=y_1[[0],[-1],[2]]+y_2[[1],[1],[2]]$
$[[x_1,x_2,y_1,y_4],[1,2,0,-1],[2,3,1,-1],[0,2,-2,-2]]=[[0],[0],[0]]$ dove le incognite sono rappresentate da $x_1,x_2,y_1,y_4$.
il sistema si riduce a:
$[[x_1,x_2,y_1,y_4],[1,2,0,-1],[0,-1,1,1]]$
quindi ha ...
Buon pomeriggio a tutti.
Mi trovo a dover ripassare le matrici e gli autovalori ed autovettori. Mi sono inbattuto in questo esercizio.
Data la matrice:
$( ( 1 , 2 ),( -2 , -1 ) )$
Calcolarne gli autovalori ed i relativi autovettori.
Passo 1
$det(A-\lambda * I) = det( ( 1-lambda , 2 ),( -2 , -1-lambda ) )= (1-\lambda)*(-1-\lambda)-2*(-2)=$
$-1-\lambda+\lambda+\lambda^2 +4=\lambda^2+3$
Gli autovalori saranno quindi dati da $\lambda^2+3=0$ e risulteranno essere $\lambda_1=sqrt(3)i$ e $\lambda_2=-sqrt(3)i$
Noto che in questo caso sono due risultati uno il complesso coniugato dell'altro.
Ora ho qualche ...
Sia T : R 3 → R 4 l’applicazione lineare tale che T(x,y,z) = (2y − z,x + y − z,x − y,x + y).
(i) Determinare una base di Ker(T) e una base di Im(T).
(ii) Scrivere la matrice associata a T nel riferimento canonico di R 3 e nel riferimento di R 4
B' = ((1,0,1,0),(0,1,1,0),(1,0,0,0),(0,0,1,1)).
ragazzi mi servirebbe un aiuto a capire come trovare la matrice associata al riferimento r4 , (gli altri punti li ho gia fatti).
Sapete dirmi per quale proprietà vale questo enunciato:
Sia $A ∈ RR^(n×n)$ tale che $A∗A = I$, $I$ essendo la matrice identica,
allora le colonne formano una base ortonormale e $|detA| = 1$
det A uguale a uno mi torna perché il determinante di una trasposta è uguale al determinante della matrice di partenza mentre il prodotto dei determinanti è uguale al determinante del prodotto delle matrici, per cui...ok.
Ma la base ortonormale non capisco come faccia ad ...
Ciao a tutti!
Ho la seguente applicazione lineare:
$ L((x), (y), (z)) = ( ( 2x-2y-z ),( y+z ) ) $
L'esercizio mi chiede che sia $ U sub R^3 $ il sottospazio di equazione 2x+z=0 calcolare la dimensione di L(U)
Io allora ho provato così:
Ho cercato l'immagine di (-2,0,1) ottenendo i valori (3, -1) e poi ho imposto il sistema
$ { ( 2x-2y-z=3 ),( y-z=-1 ):} $
Quindi essendo una retta ho dedotto che la dimL(U)=1.
Non credo di aver fatto bene anche perché non c'è molta logica nel mio procedimento, mi corregereste ? ...
Salve a tutti, volevo chiedervi una cosa, che seppur stupida non mi è chiara ovvero quando usare Gauss e Gauss-Jordan (riduzione a scala e scala ridotta) nella risoluzione dei sistemi lineari.
Ma per determinare la dimensione di un sottospazio bisogna risolvere il sistema omogeneo associato al sottospazio?
Salve, sto facendo degli esercizi sulle soluzioni di sistemi lineari $n$x$n$ tramite il metodo di Cramer.
Il sistema in questione è: $\{(2x\lambda + y - z = \lambda),(x + y\lambda + z = 1),(-x + 2y\lambda + z = \lambda +1):}$ $\lambda in RR$.
Quando vado a calcolare le radici del determinante della matrice dei coefficienti $\lambda_{1,2} notin RR AA \lambda$ come devo comportarmi quindi? Il sistema non ha soluzioni, tutte le soluzioni sono valide o semplicemente non si può svolgere con Cramer? Grazie in anticipo
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