Calcolo intersezione di sottospazi

[zio_mangrovia]

I sottospazi di $RR^3$ $X = ⟨(1,2,0),(2,3,2)⟩$ e $Y = ⟨(0,−1,2),(1,1,2)⟩$ verificano:

$A:X=Y$
$B:N.A.$
$C:X∩Y!=X$
$D:X⊂Y$
$E:X∩Y!=Y$

Per prima cosa mi studio il seguente sistema lineare per capire se l'intersezione è vuota o no, cioè se generano un sottospazio vettoriale che è comune ad entrambi:

$x_1[[1],[2],[0]]+x_2[[2],[3],[2]]=y_1[[0],[-1],[2]]+y_2[[1],[1],[2]]$

$[[x_1,x_2,y_1,y_4],[1,2,0,-1],[2,3,1,-1],[0,2,-2,-2]]=[[0],[0],[0]]$ dove le incognite sono rappresentate da $x_1,x_2,y_1,y_4$.

il sistema si riduce a:

$[[x_1,x_2,y_1,y_4],[1,2,0,-1],[0,-1,1,1]]$
quindi ha soluzione in funzione delle variabili $y_1$ e $y_2$, a questo punto come procedo se volessi calcolare lo spazio generato da $X∩Y$ e la relativa dimensione?
E qual è la risposta corretta?
Grazie

[Jokah]

Il ragionamento che hai iniziato mi piace: è evidente che se un vettore appartiene all'intersezione di due sottospazi vettoriali allora lo si può scrivere come combinazione lineare degli elementi di una base sia dell'uno che dell'altro; ciò significa che, se $X,Y$ sono sottospazi vettoriali e $\underline{v} \in X\capY$, dove una base per i due è data rispettivamente da $\{\underline{x_1}, \underline{x_2}, ... \underline{x_n}\}$ e ${\underline{y_1}, \underline{y_2}, ... \underline{y_m}\}$, allora si può contemporaneamente dire che:

$\cdot$ $\underline{v}$ può essere scritto come combinazione lineare di $\{\underline{\x_1}, \underline{x_2}, ... \underline{x_n}\}$ e anche come combinazione lineare di ${\underline{y_1}, \underline{y_2}, ... \underline{y_m}\}$.

$\cdot$ $\underline{v} = \lambda_1\underline{x_1} + \lambda_2\underline{x_2} + ... + \lambda_{n}\underline{x_n}$
$\cdot$ $\underline{v} = \mu\underline{y_1} + \mu\underline{y_2} + ... + \mu_{m}\underline{y_m}$

Si deve allora avere che la loro differenza è il vettore nullo:

$\lambda_1\underline{x_1} + \lambda_2\underline{x_2} + ... + \lambda_{n}\underline{x_n} - ( \mu\underline{y_1} + \mu\underline{y_2} + ... + \mu_{m}\underline{y_m}) = \underline{0}$

Nel caso particolare:

$underline{v} = \lambda_1 (1,2,0) + \lambda_2 (2,3,2)$
$underline{v} = \mu_1 (0,-1,2) + \mu_2 (1,1,2)$

per cui:

$\lambda_1 (1,2,0) + \lambda_2 (2,3,2) - \mu_1 (0,-1,2) - \mu_2 (1,1,2) = \underline{0}$

La matrice associata si ricava incolonnando le componenti dei vettori della base di $X$, così come sono e quelli della base di $Y$ cambiati di segno.

Riducendo con Gauss il sistema ottenuto ricavi questa:

\(\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\)

da cui:

$\lambda_1 = -2\mu_1 -\mu_2$
$\lambda_2 = \mu_1 + \mu_2$

Assegnando un valore qualsiasi a $\mu_1$ e $\mu_2$, ad esempio entrambi 1, ottieni il vettore $(1,0,4)$. Se invece assegni i valori $\mu_1=2$ e $\mu_2=1$ ottieni il vettore $(1,-1,6)$, che non essendo parallelo al precedente, può essere unito a quello per formare una base per l'intersezione, che è ad esempio data da $\{(1,0,4), (1,-1,6)\}$.

Poiché i due spazi hanno dimensione 2, e la loro intersezione ha dimensione 2, lascio a te l'interpretazione, che è ora semplice.

[zio_mangrovia]

"iTz_Ovah":
Assegnando un valore qualsiasi a $\mu_1$ e $\mu_2$, ad esempio entrambi 1, ottieni il vettore $(1,0,4)$. Se invece assegni i valori $\mu_1=2$ e $\mu_2=1$ ottieni il vettore $(1,-1,6)$, che non essendo parallelo al precedente, può essere unito a quello per formare una base per l'intersezione, che è ad esempio data da $\{(1,0,4), (1,-1,6)\}$.

Quindi ogni volta devo assegnare dei valori arbitrari per trovare una base?
La dimensione dello spazio intersezione la trovo invece considerando il numero di colonne NON pivot?

Poiché i due spazi hanno dimensione 2, e la loro intersezione ha dimensione 2, lascio a te l'interpretazione, che è ora semplice.

Provo a fare un ragionamento ad alta voce:
Escludo la $C$ e la $E$ poiché lo spazio intersezione generato dai vettori (che sono una base) $\{(1,0,4), (1,-1,6)\}$ coincide con quello di $X$ e $Y$, questo perché la dimensione dello spazio intersezione è due e coincide con quella di $X$ e $Y$, ho detto una sciocchezza? Non vorrei sbagliarmi, ma nel mio caso se prendo due basi diverse mi generano lo stesso spazio.
Mi verrebbe da dire la risposta $A$

[Jokah]

Deduzione corretta in entrambi i casi: un sistema ammette una famiglia di soluzioni di dimensione $n-\rho$ se $n$ è il numero di incognite e $\rho$ il rango della matrice ridotta.Tale differenza coincide con il numero di colonne che non contribuiscono al calcolo del rango e cioè non contengono pivot. I valori li puoi scegliere tu prestando attenzione che i valori che scegli non siano linearmente dipendenti. Ad esempio con la scelta $(1,1)$ e $(2,2)$ avresti ottenuto soluzioni parallele, che non avrebbero formato una base. Io sono sempre per il tipico $(1,0)$ e $(0,1)$ (questa volta ho voluto variare un po').

Comunque la risposta corretta è appunto la A (potevi usare la formula di Grassmann e trovare la dimensione dell'intersezione, che era più veloce come cosa).