Sottospazi

[floyd1231]

Ciao, devo risolvere questo esercizio. Mi dareste una mano?
Ho due sottospazi
$ Ut=L(A=( ( -2 , 1 ),( 0 , 1 ) ) B=( ( 1 , 0 ),( 1 , -2 ) ) Ct=( ( 4t , 3 ),( t , 7 ) )) $ e
$ W={( ( a , b ),( c , d ) ) | a+3b-c=0} $
i) Si discuta la dimensione di $ Ut $ al variare di $ t $.
Per me, la dimensione è 3, qualsiasi sia $ t $. Confermate?
ii) Si determini la dimensione di $ W $ ed una sua rappresentazione parametrica.
La dimensione mi risulta essere 1 e una sua rappresentazione parametrica è data da $ {a+3b-c|a,b,c in R} $
iii) Esistono valori di $ t $ per i quali il sottospazio somma $ Ut+W $ sia somma diretta?
Qui come procedo? Uso la formula di Grassmann? Se la uso, mi viene che la soluzione è per ogni valore di $ t $.
iv) Determinare, se possibile, i valori di $ t $ per i quali la matrice $ M=( ( 5 , 3 ),( 2 , 5 ) ) in Ut $.
Qui non so come procedere.

Grazie.

[Studente Anonimo]

"floyd123":
Per me la dimensione è $3$, qualsiasi sia $t$ ...

Non proprio. Le matrici sottostanti:

$A=((-2,1),(0,1))$

$B=((1,0),(1,-2))$

$C_t=((4t,3),(t,7))$

sono linearmente indipendenti se la seguente matrice:

$((-2,1,0,1),(1,0,1,-2),(4t,3,t,7))$

ha rango $3$. Poiché:

$det((-2,1),(1,0)) ne 0$

$[det((-2,1,0),(1,0,1),(4t,3,t))=3t+6=0] rarr [t=-2]$

$[det((-2,1,1),(1,0,-2),(4t,3,7))=-8t-16=0] rarr [t=-2]$

se ne deduce che:

$[t ne -2] rarr [dim(U_t)=3]$

$[t=-2] rarr [dim(U_t)=2]$

"floyd123":
La dimensione mi risulta essere $1$ ...

Nemmeno. Poiché:

$W=((a,b),(a+3b,d))=a((1,0),(1,0))+b((0,1),(3,0))+d((0,0),(0,1))$

e la seguente matrice:

$((1,0,1,0),(0,1,3,0),(0,0,0,1))$

ha rango $3$, se ne deduce che:

$dim(W)=3$

[floyd1231]

Sei stato chiarissimo ed impeccabile, grazie mille! Riusciresti ad aiutarmi anche con i punti iii e iv, per favore?
Per il punto iii, io direi per $ t=-2 $.
Per il iv, invece?

[seragno]

Io quando mi ritrovo lo spazio vettoriale delle matrici,utilizzo l'isomorfismo dato da $ ( ( a , b ),( c , d) ) rarr ( ( a ),( b),( c ),( d ) ) $

[floyd1231]

"seragno":Io quando mi ritrovo lo spazio vettoriale delle matrici,utilizzo l'isomorfismo dato da $ ( ( a , b ),( c , d) ) rarr ( ( a ),( b),( c ),( d ) ) $

A quale punto ti riferisci?

[floyd1231]

Come posso scrivere una rappresentazione parametrica di $ W $?

[Studente Anonimo]

"floyd123":
Come posso scrivere una rappresentazione parametrica di $W$ ...

Anche quella del mio primo messaggio:

$W=((a,b),(a+3b,d))$

può essere considerata una rappresentazione parametrica. Più formalmente:

$[W=((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))] ^^ \{(a_(11)=t_1),(a_(12)=t_2),(a_(21)=t_1+3t_2),(a_(22)=t_3):}$

"floyd123":
Determinare, se possibile, i valori di $t$ per i quali ...

Puoi procedere nel modo seguente:

$[((5,3),(2,5))=\lambda_1((-2,1),(0,1))+\lambda_2((1,0),(1,-2))+\lambda_3((4t,3),(t,7))] rarr$

$rarr \{(-2\lambda_1+\lambda_2+4t\lambda_3=5),(\lambda_1+3\lambda_3=3),(\lambda_2+t\lambda_3=2),(\lambda_1-2\lambda_2+7\lambda_3=5):} rarr ((-2,1,4t),(1,0,3),(0,1,t),(1,-2,7))((\lambda_1),(\lambda_2),(\lambda_3))=((5),(3),(2),(5))$

ricordando che, come illustrato nel mio primo messaggio, per quanto riguarda la matrice incompleta:

$[t ne -2] rarr [Rango((-2,1,4t),(1,0,3),(0,1,t),(1,-2,7))=3]$

$[t=-2] rarr [Rango((-2,1,4t),(1,0,3),(0,1,t),(1,-2,7))=Rango((-2,1,-8),(1,0,3),(0,1,-2),(1,-2,7))=2]$

e, dopo aver discusso in $t$ il rango della matrice completa:

$((-2,1,4t,5),(1,0,3,3),(0,1,t,2),(1,-2,7,5))$

applicando il teorema di Rouché-Capelli.

[seragno]

"floyd123":[quote="seragno"]Io quando mi ritrovo lo spazio vettoriale delle matrici,utilizzo l'isomorfismo dato da $ ( ( a , b ),( c , d) ) rarr ( ( a ),( b),( c ),( d ) ) $

A quale punto ti riferisci?[/quote]
Parlo in generale,quando mi ritrovo lo spazio vettoriale delle matrici,piuttosto che lo spazio vettoriale dei polinomi etc..uso l'isomorfismo che mi possa ricondurre allo spazio vettoriale dei vettori liberi.
Ai fini del tuo esercizio si può benissimo non fare,ma è giusto per semplificarsi la vita.

[floyd1231]

Va benissimo, grazie mille ad entrambi per la spiegazione e i chiarimenti!