Condizione necessaria diagonalizzabilità
Sto cercando di capire questa dimostrazione:
un operatore lineare $A:X->X$ è diagonalizzabile se esiste una base di $X$ costituita da autovettori di $A$:
se $A$ è diagonalizzabile esisterà una matrice cambio di base $M$ tale che $M^(-1)AM$ è diagonale e da ciò segue che applicandola alla base canonica $e_1,...,e_n$ risulta:
$(M^(-1)AM)e_i=\lambda_ie_i$
poi prosegue moltiplicando a sinistra per $M$...
non capisco cosa significhi applicandola alla base canonica
$ (M^(-1)AM)e_1=\lambda_ie_i $ok il fatto che esista una matrice cambio di base e che $M^(-1)AM$ sia diagonale.
Come salta fuori questa ? $(M^(-1)AM)e_i=\lambda_ie_i$
equivale forse a $A'(e_i)=\lambda_ie_i$ dove $A'$ è la matrice associata alla base che la rende diagonale.
un operatore lineare $A:X->X$ è diagonalizzabile se esiste una base di $X$ costituita da autovettori di $A$:
se $A$ è diagonalizzabile esisterà una matrice cambio di base $M$ tale che $M^(-1)AM$ è diagonale e da ciò segue che applicandola alla base canonica $e_1,...,e_n$ risulta:
$(M^(-1)AM)e_i=\lambda_ie_i$
poi prosegue moltiplicando a sinistra per $M$...
non capisco cosa significhi applicandola alla base canonica
$ (M^(-1)AM)e_1=\lambda_ie_i $ok il fatto che esista una matrice cambio di base e che $M^(-1)AM$ sia diagonale.
Come salta fuori questa ? $(M^(-1)AM)e_i=\lambda_ie_i$
equivale forse a $A'(e_i)=\lambda_ie_i$ dove $A'$ è la matrice associata alla base che la rende diagonale.
Risposte
Cosa intendi? Per come l’hai scritta sembra
se esiste $B$ base di autovettori allora $A$ è diagonalizzabile.
Intendi il contrario?
se esiste $B$ base di autovettori allora $A$ è diagonalizzabile.
Intendi il contrario?
negli appunti c'e' scritto quanto segue:
condizione necessaria= se $A$ è diagonalizzabile allora esiste una base di $X$ costituita da autovettori di $A$
condizione sufficiente= se $X$ ha una base di autovettori di $A$, allora esso è diagonalizzabile.
quella a cui mi riferisco è la prima condizione perché la dimostrazione è illustrata per ambo i casi
condizione necessaria= se $A$ è diagonalizzabile allora esiste una base di $X$ costituita da autovettori di $A$
condizione sufficiente= se $X$ ha una base di autovettori di $A$, allora esso è diagonalizzabile.
quella a cui mi riferisco è la prima condizione perché la dimostrazione è illustrata per ambo i casi
se hai due proposizioni $P,Q$ e $P=>Q$ è vera allora $P$ è sufficiente per $Q$ e $Q$ è necessaria per $P$.
Quello che vuoi dimostrare è che l’esistenza di una base di autovettori è una condizione necessaria per la diagonalizzabilità.
Ti ho fatto quella domanda perché per come l’avevi scritta si intendeva la seconda affermazione, quella che noti con ‘condizione sufficiente’
Ci sono varie definizioni di diagonalizzabilità, per esempio
$•$ un operatore è diagonalizzabile se esiste una base di autovettori.
$•$ un operatore è diagonalizzabile se esiste una base rispetto a cui la matrice è diagonale.
$•$ una matrice è diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale.
Quale definizione usa il tuo testo, o il tuo professore? Dobbiamo parlare la stessa lingua
Quello che vuoi dimostrare è che l’esistenza di una base di autovettori è una condizione necessaria per la diagonalizzabilità.
Ti ho fatto quella domanda perché per come l’avevi scritta si intendeva la seconda affermazione, quella che noti con ‘condizione sufficiente’
Ci sono varie definizioni di diagonalizzabilità, per esempio
$•$ un operatore è diagonalizzabile se esiste una base di autovettori.
$•$ un operatore è diagonalizzabile se esiste una base rispetto a cui la matrice è diagonale.
$•$ una matrice è diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale.
Quale definizione usa il tuo testo, o il tuo professore? Dobbiamo parlare la stessa lingua
la seconda!
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