Esercizio calcolo autovalori ed autovettori (complessi) matrice quadrata.
Buon pomeriggio a tutti.
Mi trovo a dover ripassare le matrici e gli autovalori ed autovettori. Mi sono inbattuto in questo esercizio.
Data la matrice:
$( ( 1 , 2 ),( -2 , -1 ) )$
Calcolarne gli autovalori ed i relativi autovettori.
Passo 1
$det(A-\lambda * I) = det( ( 1-lambda , 2 ),( -2 , -1-lambda ) )= (1-\lambda)*(-1-\lambda)-2*(-2)=$
$-1-\lambda+\lambda+\lambda^2 +4=\lambda^2+3$
Gli autovalori saranno quindi dati da $\lambda^2+3=0$ e risulteranno essere $\lambda_1=sqrt(3)i$ e $\lambda_2=-sqrt(3)i$
Noto che in questo caso sono due risultati uno il complesso coniugato dell'altro.
Ora ho qualche problema in più con gli autovettori, che dovranno essere due.
Procedo con $\lambda_1=sqrt(3)i$
Considero questa impostazione per il problema:
$( ( 1-sqrt(3)i , 2 ),( -2 , -1-sqrt(3)i ) )*( (x), (y) ) = ( (0), (0) )$
Ricavo le equazioni:
${ ( 1-sqrt(3)ix +2y=0 ),( -2x-y(1+sqrt(3)i)=0 ):}$
Fino a qui vi sembra corretto? Per il sistema ho provato a considerare la prima equazione ma ho dei grossi problemi ad arrivare ad una conclusione. Essendo complessi coniugati mi consigliate di procedere in questo modo o di provare con qualche strada alternativa? Grazie mille.
.
Mi trovo a dover ripassare le matrici e gli autovalori ed autovettori. Mi sono inbattuto in questo esercizio.
Data la matrice:
$( ( 1 , 2 ),( -2 , -1 ) )$
Calcolarne gli autovalori ed i relativi autovettori.
Passo 1
$det(A-\lambda * I) = det( ( 1-lambda , 2 ),( -2 , -1-lambda ) )= (1-\lambda)*(-1-\lambda)-2*(-2)=$
$-1-\lambda+\lambda+\lambda^2 +4=\lambda^2+3$
Gli autovalori saranno quindi dati da $\lambda^2+3=0$ e risulteranno essere $\lambda_1=sqrt(3)i$ e $\lambda_2=-sqrt(3)i$
Noto che in questo caso sono due risultati uno il complesso coniugato dell'altro.
Ora ho qualche problema in più con gli autovettori, che dovranno essere due.
Procedo con $\lambda_1=sqrt(3)i$
Considero questa impostazione per il problema:
$( ( 1-sqrt(3)i , 2 ),( -2 , -1-sqrt(3)i ) )*( (x), (y) ) = ( (0), (0) )$
Ricavo le equazioni:
${ ( 1-sqrt(3)ix +2y=0 ),( -2x-y(1+sqrt(3)i)=0 ):}$
Fino a qui vi sembra corretto? Per il sistema ho provato a considerare la prima equazione ma ho dei grossi problemi ad arrivare ad una conclusione. Essendo complessi coniugati mi consigliate di procedere in questo modo o di provare con qualche strada alternativa? Grazie mille.
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Risposte
Dividi la prima riga per \(1-\sqrt{3}i\) e ottieni \((1, \frac{2}{4}(1 + \sqrt3i))\)
Ripeti il procedimento per la seconda, dividendo questa volta per -2; Hai \((1, -\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3}i))\)
Sono palesemente uguali, allora l'unica riga che ti rimane è la prima; Cioè \(x + \frac{1}{2}(1+\sqrt{3}i)y = 0 \to x = -\frac{1}{2}(1+\sqrt{3}i)y\) Allora un vettore che appartiene al nucleo di questa applicazione è tale che lo si possa scrivere come:
\(y(-\frac{1}{2}(1+\sqrt{3}i), 1)\) da cui \((-\frac{1}{2}(1+\sqrt{3}i))\) è un autovettore. Per il rimanente prosegui analogamente!
Ripeti il procedimento per la seconda, dividendo questa volta per -2; Hai \((1, -\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3}i))\)
Sono palesemente uguali, allora l'unica riga che ti rimane è la prima; Cioè \(x + \frac{1}{2}(1+\sqrt{3}i)y = 0 \to x = -\frac{1}{2}(1+\sqrt{3}i)y\) Allora un vettore che appartiene al nucleo di questa applicazione è tale che lo si possa scrivere come:
\(y(-\frac{1}{2}(1+\sqrt{3}i), 1)\) da cui \((-\frac{1}{2}(1+\sqrt{3}i))\) è un autovettore. Per il rimanente prosegui analogamente!
Grazie mille per la tua risposta.
Ti vorrei proporre, approfittando della tua disponibilità, questa immagine che riporta la soluzione di un esercizio molto simile (sulla diagonale secondaria risulta tutto diviso per +2).
Proprio non riesco a capire che metodo abbia usato, sarà perchè sono fuori allenamento. Grazie mille!.
Ti vorrei proporre, approfittando della tua disponibilità, questa immagine che riporta la soluzione di un esercizio molto simile (sulla diagonale secondaria risulta tutto diviso per +2).
Proprio non riesco a capire che metodo abbia usato, sarà perchè sono fuori allenamento. Grazie mille!
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Mi dispiace ma così l'immagine è incompleta (manca parte della traccia), non so come aiutarti!
"iTz_Ovah":
Mi dispiace ma così l'immagine è incompleta (manca parte della traccia), non so come aiutarti!
Scusami, la ho omessa perchè simile a quello sopra, hai perfettamente ragione. Ecco la prima parte. Tra l'altro non capisco come faccia a dividere tutto per 2 sulla diagonale secondaria senza aggiustare il resto.
Grazie mille.
L'immagine riporta una matrice sbagliata; infatti il determinante di quella matrice con gli 1 sull'antidiagonale è $-3$ mentre hai trovato che $\sqrt(3)i$ è un autovalore, cioè una soluzione di $det(A-\lambdaI) = 0$, che non avviene con la matrice proposta.
Giacché ci siamo: dovendo trovare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata di ordine 2 non occorre fare alcun calcolo particolare, se conosci traccia e determinante; infatti succede che
$P(\lambda) = \lambda^2 -tr(A)\lambda+det(A)$
Giacché ci siamo: dovendo trovare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata di ordine 2 non occorre fare alcun calcolo particolare, se conosci traccia e determinante; infatti succede che
$P(\lambda) = \lambda^2 -tr(A)\lambda+det(A)$
"iTz_Ovah":
L'immagine riporta una matrice sbagliata; infatti il determinante di quella matrice con gli 1 sull'antidiagonale è $-3$ mentre hai trovato che $\sqrt(3)i$ è un autovalore, cioè una soluzione di $det(A-\lambdaI) = 0$, che non avviene con la matrice proposta.
Giacché ci siamo: dovendo trovare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata di ordine 2 non occorre fare alcun calcolo particolare, se conosci traccia e determinante; infatti succede che
$P(\lambda) = \lambda^2 -tr(A)\lambda+det(A)$
Grazie come sempre per la risposta. Probabilmente perchè chi ha scritto quell'esercizio ha sbagliato a copiare la matrice, infatti gli 1 sull'antigiagonale andrebbero moltiplicati entrambi per 2.
Mi piacerebbe, già che ci siamo, fare finta che sia tutto buono e chiederti delucidazioni su come abbia trovato gli autovettori riportati: non capisco su quali basi fa quei passaggi. Da corrispondente.... in poi per intenderci. Ti ringrazio molto.
.
Puoi approfittare dell'equazione per esprimere uno dei due in funzione del rimanente. Conviene per come sta l'equazione esprimere $x_2$ in funzione di $x_1$ (se si cambia segno e si porta il primo a destra dell'uguale si arriva ad una forma carina).
A questo punto separi parte reale e immaginaria (penso che il tuo prof consideri $\mathbb{C}$ come uno spazio vettoriale di dimensione 2 su $\mathbb{R}$), ottenendo il risultato riportato.
A questo punto separi parte reale e immaginaria (penso che il tuo prof consideri $\mathbb{C}$ come uno spazio vettoriale di dimensione 2 su $\mathbb{R}$), ottenendo il risultato riportato.
"iTz_Ovah":
Puoi approfittare dell'equazione per esprimere uno dei due in funzione del rimanente. Conviene per come sta l'equazione esprimere $x_2$ in funzione di $x_1$ (se si cambia segno e si porta il primo a destra dell'uguale si arriva ad una forma carina).
A questo punto separi parte reale e immaginaria (penso che il tuo prof consideri $\mathbb{C}$ come uno spazio vettoriale di dimensione 2 su $\mathbb{R}$), ottenendo il risultato riportato.
Grazie per la risposta. Comunque se la matrice fosse scritta correttamente avrebbe rango 1 (det=0) quindi, dalla teoria dei sistemi lineari, potrei scegliere una delle due equazioni per trovare l'autovettore scomposto in parte reale e parte immaginaria. Torna il ragionamento? Grazie
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La cosa mi sta bene (a patto di ricordarti che separare parte reale e immaginaria è una scelta e non un obbligo, dipende dalla tua interpretazione di $\mathbb{C}$)
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